이차방정식의 인수분해
인수분해는 인수를 찾는 과정입니다. 이차방정식 (2차 다항식: $ax^2+bx+c$)을 인수분해하면 다음과 같습니다:
간단한 버전 (a=1)
$ax^2+bx+c$식에서 a=1일 때, 우리는 2개의 미지수 f와 h의 값을 찾아야 합니다. 이때, f와 h를 곱하면 c가 되고 f와 h를 더하면 b가 됩니다.
$x^2+7x+6$식에서 c는 6입니다. 6은 다음과 같은 인수들을 가지고 있습니다: 인수 6과 1의 합은 7이고 이는 b와 같습니다. 따라서 f와 h는 각각 6과 1입니다.
증명해 봅시다.
만약 어떤 항들이 음수의 값을 가지면 과정은 달라지게 됩니다:
8은 양수이므로, 양(+)의 값을 가진 인수들의 곱 또는 음(-)의 값을 가진 인수들의 곱으로 나타낼 수 있습니다: 2×4 ; (−2)×(−4) ; 1×8 ; (−1)×(−8)
중간 계수가 음수(-6)이므로, 우리는 음의 값을 가진 인수들을 사용해야 합니다. (−6)=(−2)+(−4). 따라서 f와 h는 각각 −2 와 −4가 됩니다:
증명해 봅시다.
고난이도 버전(a≠1)
$ax^2+bx+c$식에서 a≠1일때 (예: $2x^2+13x+6$), 우리는 a×c의 인수이면서 합이 b인 2개의 미지수를 찾아야 합니다.
12의 인수들을 찾아봅시다: 2×6 ; 3×4 ; 12×1
다음으로, 합이 b(13)가 되는 인수들의 쌍을 찾아봅시다. 마지막 한 쌍만이 이 조건을 만족합니다: b=13=12+1.
이제, 식을 쪼갠 뒤 묶어서 마무리해주면 됩니다 (두 인수가 각각 몇 번째 항에 들어가는지 결정하기 위해 2번 시도해야 될 때도 있습니다):
증명해봅시다:
어떤 항이 음수 값을 가질 때의 다른 예시:
(-24)의 인수들을 구해봅시다: (−24)×1 ; (−1)×24 ; (−3)×8 ; 8×(−3) ; 12×(−2) ; ...
우리는 더해서 b(10)이 되는 한 쌍의 인수를 알고 있습니다: (10): 10=12+(−2)
식을 쪼개보세요:
증명해 봅시다:
