대수 표현

한 개의 괄호로 묶인 식의 곱셈

한 개의 괄호로 묶인 식에 어떠한 수를 곱할 때는 괄호 안에 포함되어 있는 모든 글자 또는 변수에 그 숫자를 곱해주어야 합니다. 우리는 이것을 분배법칙이라고 합니다:

예시:

두 개의 괄호가 중첩되어 있는 식의 곱셈

한 괄호 바로 옆에 다른 괄호가 존재한다는 것은 두 괄호를 곱해주어야 한다는 것을 의미합니다. 한 괄호 안에 있는 모든 항들에 또 다른 괄호에 있는 모든 항들을 각각 곱해주어야 합니다:

예시:

인수분해

인수분해란 주어진 숫자나 대수식을 여러 개의 인수의 곱으로 나타낸 것을 의미합니다, 예:

인수분해를 하기 위해서는, 최대공약수를 찾아야 합니다, 예:

또한

이차방정식의 인수분해

인수분해는 인수를 찾는 과정입니다. 이차방정식 (2차 다항식: $ax^2+bx+c$)을 인수분해하면 다음과 같습니다:

간단한 버전 (a=1)

$ax^2+bx+c$식에서 a=1일 때, 우리는 2개의 미지수 f와 h의 값을 찾아야 합니다. 이때, f와 h를 곱하면 c가 되고 f와 h를 더하면 b가 됩니다.
$x^2+7x+6$식에서 c는 6입니다. 6은 다음과 같은 인수들을 가지고 있습니다: 인수 6과 1의 합은 7이고 이는 b와 같습니다. 따라서 f와 h는 각각 6과 1입니다.

증명해 봅시다.

만약 어떤 항들이 음수의 값을 가지면 과정은 달라지게 됩니다:

8은 양수이므로, 양(+)의 값을 가진 인수들의 곱 또는 음(-)의 값을 가진 인수들의 곱으로 나타낼 수 있습니다: 2×4 ; (−2)×(−4) ; 1×8 ; (−1)×(−8)

중간 계수가 음수(-6)이므로, 우리는 음의 값을 가진 인수들을 사용해야 합니다. (−6)=(−2)+(−4). 따라서 f와 h는 각각 −2 와 −4가 됩니다:

증명해 봅시다.

고난이도 버전(a≠1)

$ax^2+bx+c$식에서 a≠1일때 (예: $2x^2+13x+6$), 우리는 a×c의 인수이면서 합이 b인 2개의 미지수를 찾아야 합니다.

12의 인수들을 찾아봅시다: 2×6 ; 3×4 ; 12×1

다음으로, 합이 b(13)가 되는 인수들의 쌍을 찾아봅시다. 마지막 한 쌍만이 이 조건을 만족합니다: b=13=12+1.
이제, 식을 쪼갠 뒤 묶어서 마무리해주면 됩니다 (두 인수가 각각 몇 번째 항에 들어가는지 결정하기 위해 2번 시도해야 될 때도 있습니다):

증명해봅시다:

어떤 항이 음수 값을 가질 때의 다른 예시:

(-24)의 인수들을 구해봅시다: (−24)×1 ; (−1)×24 ; (−3)×8 ; 8×(−3) ; 12×(−2) ; ...
우리는 더해서 b(10)이 되는 한 쌍의 인수를 알고 있습니다: (10): 10=12+(−2)
식을 쪼개보세요:

증명해 봅시다:

대수식을 포함하는 분수

대수식을 포함하는 분수를 정리하기 위해서는, 기본적인 대수 공식과 사칙연산의 순서를 따라야 합니다:

1단계:
괄호를 계산합니다
2단계:
차수를 계산합니다. (지수 또는 루트)
3단계:
왼쪽에서부터 오른쪽으로, 모든 곱셈과 나눗셈을 계산합니다
4단계:
더하거나 뺍니다.

또한 다음과 같은 공식을 따릅니다: