Ejercicios de Matemáticas

Forma estándar de la función cuadrática

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Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función que se puede escribir de forma $ y = ax^2 + bx + c $. E. g.:

$$ y = 5x^2−4x - 12 = 0 $$
Aquí a = 5, b = 4 y c = −12

El primer término (a) se denomina cuadrático . Nunca puede ser igual a cero. El segundo término se denomina lineal (b) , y el tercero es el término independiente (c).

Los términos b, c pueden ser 1 o 0. $y = 4x^2−16 = 0$  o  $y = x^2 + 10x$ siguen siendo ecuaciones cuadráticas.

La representación gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola. En comparación, la representación gráfica de cada función lineal (y = ax + b) es una línea recta. El término a determina cuán abruptamente aumentará la función (cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más pronunciada será la parábola). Si a es positivo, la función es convexa (en forma de U - se abre hacia arriba) y tiene punto mínimo. Si es negativa, la función es cóncava (U se abre hacia abajo) y tiene punto máximo.

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=3xy=xy=2221x2y=(−1)x2

El término lineal b afecta a la posición de la función y c determina en qué punto la función intersecta el eje y ($y =a×0^2+b×0+c=c $). La siguiente figura muestra funciones con diferentes valores a, b y c .

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=x +4x+1y=xy=2523x2y=(−3)x +6x−42−1

Determinar en qué punto la función cuadrática se cruza con el eje x, siendo y = 0 ($ax^2+bx+c=0$). Ahora son las ecuaciones cuadráticas las que pueden tener dos raíces (azul, verde), una (rosa) o ninguna (roja).

Cada parábola tiene un vértice. El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza sus ejes de simetría. Si el término cuadrático a es positivo, el vértice será el punto más bajo en el gráfico, el punto en la parte inferior de la forma de "U". Si el término cuadrático a es negativo, el vértice será el punto más alto en el gráfico. La determinación de las coordenadas de un vértice se puede obtener convirtiendo la función a su forma estándar : $ y = a (x - h) + k $ donde h, k son las coordenadas del vértice de la parábola. Hacemos esto completando el cuadrado usando las fórmulas $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ o $ (a − b)^2 = a^2 −2ab + b^2 $.

Por ejemplo, para $x^2 + 4x + 1 $ (azul) consideraremos $x^2+4x$ para $a^2+2ab$ y debemos calcular b a partir de 2ab, luego sumar $b^2$ (y restarlo al mismo tiempo), por lo que reescribir la función en la forma estándar se verá así:

$$ x ^2 + 4 + 1 = x^2 + 4 + 4−4 + 1 =$$
$$(x + 2)^2 − 3$$

Cuando $ y = (x + 2) ^ 2−3 $ se compara con $ y = a (x − h) + k $, entonces las coordenadas del vértice [h; k] se pueden determinar como [− 2; −3].

Otro ejemplo:

$$y=2x^2−12x−1$$
$$2x^2−12x−1=2(x^2−6x)−1=$$
$$=2(x^2−6x+9−9)−1=$$
$$2(x^2−6x+9)−18−1=$$
$$=2(x^2−3)^2−19;→;[h;k]=[3;−19]$$

Otra opción es usar la fórmula. Coordenadas del vértice V [h; k] se calcula como:

$$ V [{− b}/{2a}; c −b^2 / {4a}] $$

Por ejemplo:

$$ y = x^2 + 4 + 1 $$
$$ [h; k] = [{−b}/{2a}; c − b^2/ {4a}] =$$
$$[{− 4}/2; ;1−4^2/4] = [−2; −3] $$

La k (coordenada y del vértice) también se puede calcular como:

$$ h = {−b}/{2a}; k=f(h) $$

Por ejemplo:

$$ y = x ^ 2 + 4 + 1 $$
$$ [h; k] = [{−b}/{2a}; f (h)] = [−2; (−2)^2 + 4 × (−2) +1] = [−2; −3] $$

La línea de simetría es la línea vertical: x = h

Propiedades de las funciones cuadráticas

El dominio (conjunto de todos los valores x) constituye todos los números reales, el rango de valores (conjunto de todos los valores y) depende de los parámetros de la función, pero siempre va desde el vértice al infinito hacia la parte positiva o negativa del eje y.

Si a < 0, el rango de valores es (− ∞; coordenada y del vértice]; si a > 0, es [coordenada y del vértice; ∞).

La función cuadrática es par (simétrica respecto al eje y) si el término lineal (b) es cero.



Función cuadrática

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Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función que se puede escribir de forma $ y = ax^2 + bx + c $. E. g.:

$$ y = 5x^2−4x - 12 = 0 $$
Aquí a = 5, b = 4 y c = −12

El primer término (a) se denomina cuadrático . Nunca puede ser igual a cero. El segundo término se denomina lineal (b) , y el tercero es el término independiente (c).

Los términos b, c pueden ser 1 o 0. $y = 4x^2−16 = 0$  o  $y = x^2 + 10x$ siguen siendo ecuaciones cuadráticas.

La representación gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola. En comparación, la representación gráfica de cada función lineal (y = ax + b) es una línea recta. El término a determina cuán abruptamente aumentará la función (cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más pronunciada será la parábola). Si a es positivo, la función es convexa (en forma de U - se abre hacia arriba) y tiene punto mínimo. Si es negativa, la función es cóncava (U se abre hacia abajo) y tiene punto máximo.

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=3xy=xy=2221x2y=(−1)x2

El término lineal b afecta a la posición de la función y c determina en qué punto la función intersecta el eje y ($y =a×0^2+b×0+c=c $). La siguiente figura muestra funciones con diferentes valores a, b y c .

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=x +4x+1y=xy=2523x2y=(−3)x +6x−42−1

Determinar en qué punto la función cuadrática se cruza con el eje x, siendo y = 0 ($ax^2+bx+c=0$). Ahora son las ecuaciones cuadráticas las que pueden tener dos raíces (azul, verde), una (rosa) o ninguna (roja).

Cada parábola tiene un vértice. El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza sus ejes de simetría. Si el término cuadrático a es positivo, el vértice será el punto más bajo en el gráfico, el punto en la parte inferior de la forma de "U". Si el término cuadrático a es negativo, el vértice será el punto más alto en el gráfico. La determinación de las coordenadas de un vértice se puede obtener convirtiendo la función a su forma estándar : $ y = a (x - h) + k $ donde h, k son las coordenadas del vértice de la parábola. Hacemos esto completando el cuadrado usando las fórmulas $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ o $ (a − b)^2 = a^2 −2ab + b^2 $.

Por ejemplo, para $x^2 + 4x + 1 $ (azul) consideraremos $x^2+4x$ para $a^2+2ab$ y debemos calcular b a partir de 2ab, luego sumar $b^2$ (y restarlo al mismo tiempo), por lo que reescribir la función en la forma estándar se verá así:

$$ x ^2 + 4 + 1 = x^2 + 4 + 4−4 + 1 =$$
$$(x + 2)^2 − 3$$

Cuando $ y = (x + 2) ^ 2−3 $ se compara con $ y = a (x − h) + k $, entonces las coordenadas del vértice [h; k] se pueden determinar como [− 2; −3].

Otro ejemplo:

$$y=2x^2−12x−1$$
$$2x^2−12x−1=2(x^2−6x)−1=$$
$$=2(x^2−6x+9−9)−1=$$
$$2(x^2−6x+9)−18−1=$$
$$=2(x^2−3)^2−19;→;[h;k]=[3;−19]$$

Otra opción es usar la fórmula. Coordenadas del vértice V [h; k] se calcula como:

$$ V [{− b}/{2a}; c −b^2 / {4a}] $$

Por ejemplo:

$$ y = x^2 + 4 + 1 $$
$$ [h; k] = [{−b}/{2a}; c − b^2/ {4a}] =$$
$$[{− 4}/2; ;1−4^2/4] = [−2; −3] $$

La k (coordenada y del vértice) también se puede calcular como:

$$ h = {−b}/{2a}; k=f(h) $$

Por ejemplo:

$$ y = x ^ 2 + 4 + 1 $$
$$ [h; k] = [{−b}/{2a}; f (h)] = [−2; (−2)^2 + 4 × (−2) +1] = [−2; −3] $$

La línea de simetría es la línea vertical: x = h

Propiedades de las funciones cuadráticas

El dominio (conjunto de todos los valores x) constituye todos los números reales, el rango de valores (conjunto de todos los valores y) depende de los parámetros de la función, pero siempre va desde el vértice al infinito hacia la parte positiva o negativa del eje y.

Si a < 0, el rango de valores es (−∞; coordenada y del vértice]; si a > 0, es [coordenada y del vértice; ∞).

La función cuadrática es par (simétrica respecto al eje y) si el término lineal (b) es cero.



   
   

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