Ejercicios de Matemáticas

Conversión de grados y minutos

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Grados y minutos

Un círculo completo tiene 360 grados. Un grado se representa por°, p.ej.: 360°.

Cada grado se divide en 60 partes iguales que se denominan minutos sexagesimales. Cada parte representa 1/60 de grado. Un minuto se representa con ', p. ej.: 1° = 60 '.

A su vez, cada minuto se divide en 60 partes iguales, cada parte es 1/60 de minuto llamado segundos sexagesimales. Un segundo se representa con '', p. ej.: 1° = 60 × 60 = 3600 segundos = 3600 ''.

Muchas veces es necesario convertir la medida del ángulo que se escribe como número decimal en grados y minutos, por ejemplo, 40.5 grados. 40.5º se transformaría de la siguiente forma: 40°+0.5×60'= 40°30'

Radianes

La circunferencia de un círculo es 2πr. En base a esto, establecemos que 2π es equivalente a 360° y π es equivalente a 180°. Por tanto, un radián es aproximadamente $360/{2π} $ o 57.3 grados.

Convertir grados a radianes

$$ {α(°)×π}/{180°} = α(rad) $$
$$ 45°={45°×π}/180°=π/4 rad $$

Convertir radianes a grados

$$ απ (rad) = α × 180° $$
$$ 5/6 π rad = 5/6 × 180° = 360°/3 = 150° $$
360°=2π270°=3π/2180°= π90°=π/2


Conversión de grados a radianes

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Radianes

La circunferencia de un círculo es 2πr. En base a esto, establecemos que 2π es equivalente a 360° y π es equivalente a 180°. Por tanto, un radián es aproximadamente $ 360/{2π} $ o 57.3 grados.

Convertir grados a radianes

$$ {α (°) × π}/{180°} = α (rad) $$
$$ 45° = {45° × π}/180° = π/4 rad $$

Convertir radianes a grados

$$ απ (rad) = α × 180° $$
$$ 5/6 π rad = 5/6 × 180° = 360°/3 = 150° $$
360°=2π270°=3π/2180°= π90°=π/2


Definición de tipos de ángulos

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Tipos de ángulos

Ángulo agudo es inferior a 90° (verde).
Ángulo recto es exactamente 90° (azul).
Ángulo obtuso es mayor que 90° y menor que 180° (marrón).

162°90°45°



Ángulo llano es exactamente 180° (verde).
Ángulo cóncavo es mayor que 180° pero menor de 360° (azul).
Ángulo completo es exactamente 360° (marrón).
360°225°180°

Y ángulo nulo es exactamente 0°.


Otra clasificación:
Ángulo cóncavo es inferior a 180°.
Ángulo convexo es mayor que 180°.



Estima la medida del ángulo

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Medida de ángulos

Un ángulo es una fracción de un círculo completo (360°). La mitad del círculo se denomina ángulo llano (180°). Un ángulo recto es un cuarto de círculo (90°).

360°270°180° 90°


Clasificación de ángulos según su posición

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Tipos de ángulos según su posición/según su suma

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90° (ángulo recto).

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus ángulos es igual a 180° (ángulo llano).

Dos ángulos son consecutivos/contiguos cuando tienen un lado y un vértice común pero no se superponen (en la imagen de abajo es γ y δ, δ y η, η y α, etc.)

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirectas opuestas. (su suma es igual a 180º). Se llama ángulos adyacentes a todo par de ángulos que son consecutivos y suplementarios. En la imagen de abajo solo α y β, β y γ.

αβγδη

Los ángulos verticales (o verticalmente opuestos) son los ángulos opuestos entre sí cuando dos líneas se cruzan. Son congruentes (de la misma medida). En la imagen son solo γ y α.



La medida de ángulos entre paralelas

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Ángulos entre paralelas

Dos rectas paralelas cruzadas por una recta transversal forman un par especial de ángulos:

Se forman ángulos alternos internos en los lados opuestos de la transversal (par verde, par azul). Cuando el par de líneas son paralelas, los ángulos alternos internos resultantes son congruentes (iguales entre sí). Cada uno de los ángulos verdes y de los ángulos azules son suplementario (verde + azul = 180°)

Se forman ángulos alternos exteriores en el exterior de los lados opuestos de la transversal (par verde, par azul). Cuando el par de líneas son paralelas, los ángulos alternos internos resultantes son congruentes (iguales entre sí). De nuevo, cada uno de los ángulos verdes y azules son suplementarios (verde + azul = 180°)

Los ángulos correspondientes son los ángulos en las esquinas coincidentes (cuatro pares de colores diferentes). Cuando el par de líneas son paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes (de igual medida).



Triángulos y líneas paralelas


Ángulos de polígonos

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Ángulos de polígonos

Los ángulos de un triángulo suman 180°. Los ángulos de los cuadriláteros tienen 360° en total.

Para calcular la suma de los ángulos interiores, podemos usar la fórmula (n−2)×180° donde n es el número de lados. No importa si el polígono es regular (cada ángulo tiene la misma medida) o no.



Círculo:ángulo central e inscrito en una circunferencia (fácil)

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Ángulos en circunferencias

Una secante de un círculo es una línea recta cuyos extremos se encuentran comprendidos dentro del círculo (CD).

Una tangente es una línea que toca la circunferencia en un solo punto. El radio hasta el punto de tangencia (A, B) siempre es perpendicular a la línea tangente. Por el contrario, la recta perpendicular a un radio a través del mismo extremo es una línea tangente.

OABCD

Un ángulo inscrito en una circunferencia está formado por dos secantes que tienen un extremo común en la circunferencia. Este extremo común es el vértice del ángulo. En la imagen, el círculo con el centro O tiene el ángulo inscrito ∠ADB. Un ángulo central en un círculo está formado por líneas desde dos puntos en la circunferencia del círculo hasta el centro del círculo. El vértice está ubicado en el centro de un círculo. En la imagen es el ángulo ∠AOB. En un círculo, la medida de un ángulo central es dos veces la medida del ángulo inscrito con el mismo arco interceptado:

αOABD
OBAαD

En un círculo, dos ángulos inscritos con el mismo arco interceptado son congruentes (tienen la misma medida de ángulo):

OABDEF
∠ADB≅∠AEB≅∠AFB
OABDEF

Teorema de Tales: cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

OAB

El ángulo entre una tangente y una secante a través del punto de contacto es igual a un ángulo en el segmento alternativo.

OADEFGZ

Los ángulos del mismo color tienen la misma medida.

OABC

Cuadriláteros cíclicos/inscritos

Un cuadrilátero cíclico tiene cada uno de sus vértices en la circunferencia de un círculo. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


Cuadrilátero cíclico

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Cuadriláteros cíclicos/inscritos

Un cuadrilátero cíclico tiene cada uno de sus vértices en la circunferencia de un círculo. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


Ángulos en una circunferencia

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Ángulos en circunferencias

Una secante de un círculo es una línea recta cuyos extremos se encuentran comprendidos dentro del círculo (CD).

Una tangente es una línea que toca la circunferencia en un solo punto. El radio hasta el punto de tangencia (A, B) siempre es perpendicular a la línea tangente. Por el contrario, la recta perpendicular a un radio a través del mismo extremo es una línea tangente.

OABCD

Un ángulo inscrito en una circunferencia está formado por dos secantes que tienen un extremo común en la circunferencia. Este extremo común es el vértice del ángulo. En la imagen, el círculo con el centro O tiene el ángulo inscrito ∠ADB. Un ángulo central en un círculo está formado por líneas desde dos puntos en la circunferencia del círculo hasta el centro del círculo. El vértice está ubicado en el centro de un círculo. En la imagen es el ángulo ∠AOB. En un círculo, la medida de un ángulo central es dos veces la medida del ángulo inscrito con el mismo arco interceptado:

αOABD
OBAαD

En un círculo, dos ángulos inscritos con el mismo arco interceptado son congruentes (tienen la misma medida de ángulo):

OABDEF
∠ADB≅∠AEB≅∠AFB
OABDEF

Teorema de Tales: cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

OAB

El ángulo entre una tangente y una secante a través del punto de contacto es igual a un ángulo en el segmento alternativo.

OADEFGZ

Los ángulos del mismo color tienen la misma medida.

OABC

Cuadriláteros cíclicos/inscritos

Un cuadrilátero cíclico tiene cada uno de sus vértices en la circunferencia de un círculo. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


   
   

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