Ejercicios de Matemáticas

Suma y resta de expresiones algebraicas


Multiplicación de expresiones algebraicas (fácil)

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Multiplicación de paréntesis individuales

Multiplicar/desarrollar los paréntesis significa multiplicar todo lo que se encuentra dentro del paréntesis por la letra o la variable que se encuentra fuera del corchete. Esto se denomina regla distributiva:

$$ m(a + b) = ma + mb $$
Ejemplo:
$$ 4 (3y + 7) = 12y + 28 $$
$$ z (z + y − 2x) = z^2 + zy − 2xz $$

Multiplicación de paréntesis dobles

Dos paréntesis, uno al lado del otro, implican que los paréntesis deben multiplicarse juntos. Cada término en el primer paréntesis debe multiplicarse por cada término en el segundo paréntesis:

$$ (m + n) (a + b) = ma + mb + na + nb $$
Ejemplo:
$$ (3y + 2) (4 − y) = $$
$$ = 3y×4−3y × y + 2 × 4−2 × y = $$
$$ 12y − 3y^2 + 8−2y =$$
$$10y−3y^2 + 8 $$


Aplicación de fórmulas (difícil)

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$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$$

$$(a−b)^2=(a−b)(a−b)=a^2−2ab+b^2$$

$$a^2−b^2=(a+b)(a−b)$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$$


Factorización de expresiones algebraicas (fácil)

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Factorización

Factorización o factorizar significa escribir un número o expresión algebraica como producto de varios factores, por ejemplo:

$$ ax + bx = x (a + b) $$

Para hacer la factorización, necesitamos encontrar el mayor factor común, por ejemplo:

$$ 2x + 6xy − 8x^2 = 2x (1 + 3y − 4x) $$

También:

$$ 7x^2+7x + 3x + 3 = 7x (x + 1) +3 (x + 1) = $$
$$ = (7x + 3) (x + 1) $$


Factorización de expresiones algebraicas (difícil)

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Factorización de expresiones cuadráticas

La factorización es el proceso por el medio del cual podemos encontrar los factores. Para las ecuaciones cuadráticas (un polinomio de grado dos: $ ax^2 + bx + c $) tiene el siguiente aspecto:

$$ ax^2 + bx + c = (ex + f) (gx + h) $$

Los números f y h se denominan factores polinómicos.

Versión simple (a = 1)

Para $ax^2 + bx + c$ donde a = 1 (p. ej. $x^2 + 7x + 6$) tenemos que encontrar 2 números (factores polinómicos f, h) que sean factores de c y que si los sumamos, nos darán b.
En $x^2 + 7x + 6 $, c es 6. El número 6 tiene los siguientes factores: 2 × 3; 6 × 1. Solo la suma de los factores 6 y 1 es igual a b (7). Entonces nuestra f y h son 6 y 1.

$$ x^2 + 7x + 6 = (x + 6) (x + 1) $$

Vamos a probarlo:

$$ (x + 6) (x + 1) = x^2 + x + 6x + 6 = x^2 + 7x + 6 $$

La situación es diferente con algunos de los términos siendo negativos:

$$ x^2−6x + 8 $$

8 es positivo, así que los factores siempre serán ambos positivos (+) o negativos (−): 2 × 4; (−2) × (−4); 1 × 8; (−1) × (−8)

Si el coeficiente medio es negativo (−6) tenemos que usar factores negativos. (−6) = (−2) + (− 4). Entonces nuestras f y h son: −2 y −4:

$$ x^2−6x + 8 = (x − 2) (x − 4) $$

Vamos a probarlo:

$$ (x − 2) (x − 4) = x^2−4x − 2x + 8 = $$
$$x^2−6x + 8 $$

Versión difícil (a ≠ 1)

Para $ax^2 + bx + c $ donde a ≠ 1 (por ejemplo, $2x^2 + 13x + 6 $) tenemos que encontrar 2 números que sean factores de a×c y sumarlos para que nos de b.

$$ 2x^2 + 13x + 6 $$
$$ a × c = 2 × 6 = 12 $$

Vamos a encontrar los factores de 12: 2 × 6; 3 × 4; 12 × 1


Luego, tenemos que encontrar el par de factores que se suman a b (13), es solo el último: b = 13 = 12 + 1.
Ahora, dividimos el término medio agrupando (a veces tenemos que hacer dos intentos para encontrar cuál de los dos términos medios debe ir primero):


$$ 2x^2 + 12x + x + 6 = 2x (x + 6) + (x + 6) = $$
$$ = (x + 6) (2x + 1) $$

Vamos a probarlo:

$$ (x + 6) (2x + 1) = 2x^2 + x + 12x + 6 $$

Otro ejemplo con términos negativos:

$$ 3x^2 + 10x − 8 $$
$$ a × c = 3 × (−8) = (−24) $$

Encontramos los factores de (−24): (−24) × 1; (−1) × 24; (−3) × 8; 8 × (−3); 12 × (−2); ...
Tenemos el par que suma b (10): 10 = 12 + (−2)
Dividimos el término medio:

$$ 3x^2 + 10x − 8 = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x (x + 4) −2 (x + 4) = (3x − 2) (x + 4) $$

Vamos a probarlo:

$$ (3x − 2)(x + 4) = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x^2 + 10x − 8 $$


Fracciones algebraicas (fácil)

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Fracciones algebraicas

Para simplificar las fracciones algebraicas, debemos realizar las fórmulas algebraicas básicas y seguir el orden de las operaciones:

Paso 1:
Evaluar los paréntesis
Paso 2:
Evaluar las potencias (exponentes y raíces)
Paso 3:
Multiplicar o dividir de izquierda a derecha
Paso 4:
Sumar o restar

También seguimos estas fórmulas:

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$$

$$(a−b)^2=(a−b)(a−b)=a^2−2ab+b^2$$

$$a^2−b^2=(a+b)(a−b)$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$$


   
   

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