Números decimales

Fracciones y decimales

Los números decimales evidencian otra forma de representar números que son más pequeños que la unidad. Los decimales se escriben a la derecha del lugar de las unidades separados por un punto, llamado punto decimal. El primer número a la derecha del punto decimal representa las décimas; el segundo, las centésimas; el tercero, las milésimas, etc.

Si deseamos comparar o hacer cálculos con fracciones y decimales, debemos convertirlos a un solo tipo: decimales o fracciones.

Convertir decimales en fracciones:

1. Convertimos el decimal en fracción usando décimas, centésimas, milésimas, etc., dependiendo del número de decimales. 1 lugar = décima, p. ej. $ 0.5 = 5/10 ; ; 3.3 = 33/10 $, dos lugares = centésimas, p. ej. $ 0.02 = 2/100 ;; 0.12 = 12/100 ;; 1.38 = 138/100 $, tres lugares = milésimas, p. ej. $ 0.002 = 2/1000 ;; 0.304 = 304/1000 $.

2. Simplificamos la fracción a la fracción irreducible (no se puede simplificar más). $ 5/10 = 1/2 ;; 2/100 = 1/50 $.

Convertir fracciones a decimales

1. Encontramos un número que podamos multiplicar por el denominador (número inferior de la fracción) para que sea 10, 100 o 1000, etc.
P. ej.:

2. Una fracción se puede convertir en decimales: simplemente colocamos el punto decimal en la posición correcta (un espacio desde el lado derecho por cada cero en el número inferior):
Por ejemplo $ 5/10 = 0.5 ; $; $ 25/100 = 0.25 $
Algunos números no tienen forma de multiplicarlos para convertirlos en decenas, centenas, miles. Para estos números, únicamente podemos calcular un decimal aproximado (encontrar un denominador cercano a 10, 100 o 1000), por ejemplo:

Convertir números enteros en fracciones

Simplemente ponemos 1 debajo del número entero, por ejemplo:

Fracciones y decimales

Los números decimales evidencian otra forma de representar números que son más pequeños que la unidad. Los decimales se escriben a la derecha del lugar de las unidades separados por un punto, llamado punto decimal. El primer número a la derecha del punto decimal representa las décimas; el segundo, las centésimas; el tercero, las milésimas, etc.

Si deseamos comparar o hacer cálculos con fracciones y decimales, debemos convertirlos a un solo tipo: decimales o fracciones.

Convertir decimales en fracciones:

1. Convertimos el decimal en fracción usando décimas, centésimas, milésimas, etc., dependiendo del número de decimales. 1 lugar = décima, p. ej. $ 0.5 = 5/10 ; ; 3.3 = 33/10 $, dos lugares = centésimas, p. ej. $ 0.02 = 2/100 ;; 0.12 = 12/100 ;; 1.38 = 138/100 $, tres lugares = milésimas, p. ej. $ 0.002 = 2/1000 ;; 0.304 = 304/1000 $.

2. Simplificamos la fracción a la fracción irreducible (no se puede simplificar más). $ 5/10 = 1/2 ;; 2/100 = 1/50 $.

Convertir fracciones a decimales

1. Encontramos un número que podamos multiplicar por el denominador (número inferior de la fracción) para que sea 10, 100 o 1000, etc.
P. ej.:

2. Una fracción se puede convertir en decimales: simplemente colocamos el punto decimal en la posición correcta (un espacio desde el lado derecho por cada cero en el número inferior):
Por ejemplo $ 5/10 = 0.5 ; $; $ 25/100 = 0.25 $
Algunos números no tienen forma de multiplicarlos para convertirlos en decenas, centenas, miles. Para estos números, únicamente podemos calcular un decimal aproximado (encontrar un denominador cercano a 10, 100 o 1000), por ejemplo:

Convertir números enteros en fracciones

Simplemente ponemos 1 debajo del número entero, por ejemplo:

Fracciones y decimales

Los números decimales evidencian otra forma de representar números que son más pequeños que la unidad. Los decimales se escriben a la derecha del lugar de las unidades separados por un punto, llamado punto decimal. El primer número a la derecha del punto decimal representa las décimas; el segundo, las centésimas; el tercero, las milésimas, etc.

Si deseamos comparar o hacer cálculos con fracciones y decimales, debemos convertirlos a un solo tipo: decimales o fracciones.

Convertir decimales en fracciones:

1. Convertimos el decimal en fracción usando décimas, centésimas, milésimas, etc., dependiendo del número de decimales. 1 lugar = décima, p. ej. $ 0.5 = 5/10 ; ; 3.3 = 33/10 $, dos lugares = centésimas, p. ej. $ 0.02 = 2/100 ;; 0.12 = 12/100 ;; 1.38 = 138/100 $, tres lugares = milésimas, p. ej. $ 0.002 = 2/1000 ;; 0.304 = 304/1000 $.

2. Simplificamos la fracción a la fracción irreducible (no se puede simplificar más). $ 5/10 = 1/2 ;; 2/100 = 1/50 $.

Convertir fracciones a decimales

1. Encontramos un número que podamos multiplicar por el denominador (número inferior de la fracción) para que sea 10, 100 o 1000, etc.
P. ej.:

2. Una fracción se puede convertir en decimales: simplemente colocamos el punto decimal en la posición correcta (un espacio desde el lado derecho por cada cero en el número inferior):
Por ejemplo $ 5/10 = 0.5 ; $; $ 25/100 = 0.25 $
Algunos números no tienen forma de multiplicarlos para convertirlos en decenas, centenas, miles. Para estos números, únicamente podemos calcular un decimal aproximado (encontrar un denominador cercano a 10, 100 o 1000), por ejemplo:

Convertir números enteros en fracciones

Simplemente ponemos 1 debajo del número entero, por ejemplo:

Dividir entre números enteros

En una división como $9 ÷ 2$, el número que se divide (9) se llama dividendo, el número por el que dividimos (2) se llama divisor y el resultado se llama cociente.

Cuando el divisor es un número entero, podemos dividir de la manera habitual. El cociente no tiene que ser un número entero: también puede ser un número decimal.

El 2 cabe cuatro veces completas en 9 ($4 × 2 = 8$) y sobra 1. Pero no nos detenemos en el resto: seguimos dividiendo. El 1 que queda es la mitad de 2, y la mitad es $0.5$, por lo que el resultado es $4 + 0.5 = 4.5$.

La misma regla funciona cuando el dividendo ya es un número decimal. Dividimos de la manera habitual y colocamos el punto decimal del cociente directamente encima del punto decimal del dividendo:

Aquí $4 ÷ 4 = 1$ y $0.8 ÷ 4 = 0.2$, así que en total obtenemos $1.2$.

Dividir entre números decimales

Cuando el divisor es un número decimal, dividir directamente resulta más difícil. Es mucho más fácil convertir primero el divisor en un número entero. Para hacerlo, multiplicamos tanto el dividendo como el divisor por el mismo número: 10, 100, 1000, etc., según sea necesario para eliminar el punto decimal del divisor.

¿Por qué esto no cambia el resultado? Una división puede escribirse como una fracción: $7 ÷ 3.5$ es lo mismo que $7/3.5$. Si multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número, la fracción conserva el mismo valor, igual que $1/2$ y $10/20$ son iguales. Por lo tanto, el cociente no cambia; simplemente obtenemos números con los que es más fácil trabajar.

Por ejemplo:

Multiplicamos ambos números por 10. El divisor 3.5 se convirtió en el número entero 35 y $70 ÷ 35$ es fácil de calcular: el resultado es 2. Comprobación: $2 × 3.5 = 7$

Mover el punto decimal en ambos números

En lugar de pensar en multiplicar por 10, 100 o 1000, podemos imaginar que movemos el punto decimal el mismo número de posiciones en ambos números hacia la derecha. Multiplicar por 10 mueve el punto una posición, por 100 dos posiciones y por 1000 tres posiciones.

Una regla sencilla: cuenta las cifras decimales del divisor. Ese es el número de posiciones que debes mover el punto decimal en ambos números.

Por ejemplo:

El divisor 0.35 tiene dos cifras decimales, así que movemos el punto decimal dos posiciones hacia la derecha en ambos números. $0.35$ se convierte en $35$ y $0.7$ se convierte en $70$ (añadimos un cero porque $0.7 = 0.70$):

Es importante mover el punto decimal el mismo número de posiciones en el dividendo y en el divisor. Si lo mueves un número diferente de posiciones, el resultado será incorrecto.

Dividir usando fracciones

También podemos entender la misma idea de otra manera. Todo número decimal puede escribirse como una fracción con 10, 100 o 1000 en el denominador:

Para dividir entre una fracción, multiplicamos por su recíproco: invertimos la segunda fracción y multiplicamos:

Obtenemos el mismo resultado, $2$, que antes. Observa el paso intermedio: el 100 del denominador de $0.35$ pasa al numerador al invertir la fracción y puede simplificarse con el 10 del denominador de $0.7$. Precisamente por eso funciona «mover el punto decimal en ambos números»: los factores 10, 100 o 1000 correspondientes se simplifican.

Otro ejemplo:

Ambos denominadores son 10, por lo que se simplifican completamente y solo queda $48 ÷ 12 = 4$.

Encontrar primero una división más sencilla

A veces el divisor es un número entero, pero el dividendo es un decimal pequeño, por ejemplo $0.07 ÷ 35$. Este tipo de operación no es fácil de calcular directamente de cabeza. Otras veces, los números se vuelven grandes después de mover el punto decimal, por ejemplo $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.

En estos casos utilizamos un método de dos pasos:

Paso 1. Por un momento, dejamos de lado el punto decimal y los ceros y buscamos la división sencilla que se esconde en el ejercicio. En todos los ejemplos siguientes es $70 ÷ 35 = 2$.

Paso 2. Colocamos correctamente el punto decimal en el resultado. Dos reglas nos indican cómo:

Regla	Ejemplo
Si hacemos el dividendo 10 veces menor, el cociente también será 10 veces menor: movemos el punto decimal una posición hacia la izquierda. Dividir un número más pequeño da un resultado más pequeño.	$70 ÷ 35 = 2$ $7 ÷ 35 = 0.2$ $0.7 ÷ 35 = 0.02$
Si hacemos el divisor 10 veces menor, el cociente será 10 veces mayor: movemos el punto decimal una posición hacia la derecha. Dividir entre un número más pequeño da un resultado mayor.	$70 ÷ 35 = 2$ $70 ÷ 3.5 = 20$ $70 ÷ 0.35 = 200$

Ahora aplicaremos ambos pasos a dos ejemplos más difíciles.

Ejemplo 1: $0.07 ÷ 35$. La división sencilla es $70 ÷ 35 = 2$. Pero nuestro dividendo no es 70, sino $0.07$, que es 1000 veces menor ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, tres posiciones). Por lo tanto, el cociente también debe ser 1000 veces menor que 2. Movemos el punto decimal tres posiciones hacia la izquierda:

Comprobación: $0.002 × 35 = 0.07$

Ejemplo 2: $7 ÷ 0.035$. Primero convertimos el divisor en un número entero moviendo el punto decimal tres posiciones en ambos números: $7000 ÷ 35$. La división sencilla vuelve a ser $70 ÷ 35 = 2$, pero nuestro dividendo 7000 es 100 veces mayor que 70 ($70 → 700 → 7000$, dos posiciones). Por lo tanto, el cociente es 100 veces mayor que 2: movemos el punto decimal dos posiciones hacia la derecha:

Comprobación: $200 × 0.035 = 7$

Compáralo con $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Observa que un divisor más pequeño da un cociente mayor: dividir 7 entre 0.035 da un resultado mucho mayor que dividir 7 entre 0.35. Tiene sentido: cuanto más pequeñas sean las partes en las que dividimos 7, más partes obtenemos.

División larga

Cuando el cociente no es evidente, utilizamos la división larga. El método es el mismo que con los números enteros; solo debemos prestar atención al punto decimal.

Primero convertimos el divisor en un número entero. El divisor 3.2 tiene una cifra decimal, así que multiplicamos ambos números por 10:

Ahora podemos hacer la división larga. Como 32 es mayor que 6, el número 32 cabe cero veces en 6, por lo que el cociente empieza con 0 seguido de un punto decimal. Para continuar, escribimos 6 como 6.0000 – añadir ceros después del punto decimal no cambia su valor – y vamos bajando un cero cada vez. El punto decimal del cociente se coloca directamente encima del punto decimal del dividendo.

Por lo tanto:

Comprobación: $0.1875 × 3.2 = 0.6$

Dividir entre números enteros

En una división como $9 ÷ 2$, el número que se divide (9) se llama dividendo, el número por el que dividimos (2) se llama divisor y el resultado se llama cociente.

Cuando el divisor es un número entero, podemos dividir de la manera habitual. El cociente no tiene que ser un número entero: también puede ser un número decimal.

El 2 cabe cuatro veces completas en 9 ($4 × 2 = 8$) y sobra 1. Pero no nos detenemos en el resto: seguimos dividiendo. El 1 que queda es la mitad de 2, y la mitad es $0.5$, por lo que el resultado es $4 + 0.5 = 4.5$.

La misma regla funciona cuando el dividendo ya es un número decimal. Dividimos de la manera habitual y colocamos el punto decimal del cociente directamente encima del punto decimal del dividendo:

Aquí $4 ÷ 4 = 1$ y $0.8 ÷ 4 = 0.2$, así que en total obtenemos $1.2$.

Dividir entre números decimales

Cuando el divisor es un número decimal, dividir directamente resulta más difícil. Es mucho más fácil convertir primero el divisor en un número entero. Para hacerlo, multiplicamos tanto el dividendo como el divisor por el mismo número: 10, 100, 1000, etc., según sea necesario para eliminar el punto decimal del divisor.

¿Por qué esto no cambia el resultado? Una división puede escribirse como una fracción: $7 ÷ 3.5$ es lo mismo que $7/3.5$. Si multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número, la fracción conserva el mismo valor, igual que $1/2$ y $10/20$ son iguales. Por lo tanto, el cociente no cambia; simplemente obtenemos números con los que es más fácil trabajar.

Por ejemplo:

Multiplicamos ambos números por 10. El divisor 3.5 se convirtió en el número entero 35 y $70 ÷ 35$ es fácil de calcular: el resultado es 2. Comprobación: $2 × 3.5 = 7$

Mover el punto decimal en ambos números

En lugar de pensar en multiplicar por 10, 100 o 1000, podemos imaginar que movemos el punto decimal el mismo número de posiciones en ambos números hacia la derecha. Multiplicar por 10 mueve el punto una posición, por 100 dos posiciones y por 1000 tres posiciones.

Una regla sencilla: cuenta las cifras decimales del divisor. Ese es el número de posiciones que debes mover el punto decimal en ambos números.

Por ejemplo:

El divisor 0.35 tiene dos cifras decimales, así que movemos el punto decimal dos posiciones hacia la derecha en ambos números. $0.35$ se convierte en $35$ y $0.7$ se convierte en $70$ (añadimos un cero porque $0.7 = 0.70$):

Es importante mover el punto decimal el mismo número de posiciones en el dividendo y en el divisor. Si lo mueves un número diferente de posiciones, el resultado será incorrecto.

Dividir usando fracciones

También podemos entender la misma idea de otra manera. Todo número decimal puede escribirse como una fracción con 10, 100 o 1000 en el denominador:

Para dividir entre una fracción, multiplicamos por su recíproco: invertimos la segunda fracción y multiplicamos:

Obtenemos el mismo resultado, $2$, que antes. Observa el paso intermedio: el 100 del denominador de $0.35$ pasa al numerador al invertir la fracción y puede simplificarse con el 10 del denominador de $0.7$. Precisamente por eso funciona «mover el punto decimal en ambos números»: los factores 10, 100 o 1000 correspondientes se simplifican.

Otro ejemplo:

Ambos denominadores son 10, por lo que se simplifican completamente y solo queda $48 ÷ 12 = 4$.

Encontrar primero una división más sencilla

A veces el divisor es un número entero, pero el dividendo es un decimal pequeño, por ejemplo $0.07 ÷ 35$. Este tipo de operación no es fácil de calcular directamente de cabeza. Otras veces, los números se vuelven grandes después de mover el punto decimal, por ejemplo $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.

En estos casos utilizamos un método de dos pasos:

Paso 1. Por un momento, dejamos de lado el punto decimal y los ceros y buscamos la división sencilla que se esconde en el ejercicio. En todos los ejemplos siguientes es $70 ÷ 35 = 2$.

Paso 2. Colocamos correctamente el punto decimal en el resultado. Dos reglas nos indican cómo:

Regla	Ejemplo
Si hacemos el dividendo 10 veces menor, el cociente también será 10 veces menor: movemos el punto decimal una posición hacia la izquierda. Dividir un número más pequeño da un resultado más pequeño.	$70 ÷ 35 = 2$ $7 ÷ 35 = 0.2$ $0.7 ÷ 35 = 0.02$
Si hacemos el divisor 10 veces menor, el cociente será 10 veces mayor: movemos el punto decimal una posición hacia la derecha. Dividir entre un número más pequeño da un resultado mayor.	$70 ÷ 35 = 2$ $70 ÷ 3.5 = 20$ $70 ÷ 0.35 = 200$

Ahora aplicaremos ambos pasos a dos ejemplos más difíciles.

Ejemplo 1: $0.07 ÷ 35$. La división sencilla es $70 ÷ 35 = 2$. Pero nuestro dividendo no es 70, sino $0.07$, que es 1000 veces menor ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, tres posiciones). Por lo tanto, el cociente también debe ser 1000 veces menor que 2. Movemos el punto decimal tres posiciones hacia la izquierda:

Comprobación: $0.002 × 35 = 0.07$

Ejemplo 2: $7 ÷ 0.035$. Primero convertimos el divisor en un número entero moviendo el punto decimal tres posiciones en ambos números: $7000 ÷ 35$. La división sencilla vuelve a ser $70 ÷ 35 = 2$, pero nuestro dividendo 7000 es 100 veces mayor que 70 ($70 → 700 → 7000$, dos posiciones). Por lo tanto, el cociente es 100 veces mayor que 2: movemos el punto decimal dos posiciones hacia la derecha:

Comprobación: $200 × 0.035 = 7$

Compáralo con $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Observa que un divisor más pequeño da un cociente mayor: dividir 7 entre 0.035 da un resultado mucho mayor que dividir 7 entre 0.35. Tiene sentido: cuanto más pequeñas sean las partes en las que dividimos 7, más partes obtenemos.

División larga

Cuando el cociente no es evidente, utilizamos la división larga. El método es el mismo que con los números enteros; solo debemos prestar atención al punto decimal.

Primero convertimos el divisor en un número entero. El divisor 3.2 tiene una cifra decimal, así que multiplicamos ambos números por 10:

Ahora podemos hacer la división larga. Como 32 es mayor que 6, el número 32 cabe cero veces en 6, por lo que el cociente empieza con 0 seguido de un punto decimal. Para continuar, escribimos 6 como 6.0000 – añadir ceros después del punto decimal no cambia su valor – y vamos bajando un cero cada vez. El punto decimal del cociente se coloca directamente encima del punto decimal del dividendo.

Por lo tanto:

Comprobación: $0.1875 × 3.2 = 0.6$

Operaciones combinadas

Cuando los cálculos tienen más de una operación, debemos seguir un cierto orden para realizar las operaciones:

Paso 1:
De izquierda a derecha, hacemos todas las multiplicaciones y divisiones.

Paso 2:
De izquierda a derecha, hacemos todas las sumas y restas.

Sin embargo, si hay paréntesis u otros tipos de corchetes, realizamos primero todas las operaciones que se encuentren dentro:
El orden de las operaciones también se aplica a la hora de realizar las operaciones dentro del paréntesis:
Cuando tenemos paréntesis dentro de corchetes y llaves (a veces referidos como paréntesis anidados), realizamos las operaciones siempre desde dentro hacia afuera. Existen diferentes tipos de corchetes. Los paréntesis () internos se calculan primero, seguido de los corchetes [] que se encuentran en la segunda estructura, seguidos de los llaves {} que forman una tercera estructura hacia afuera:

Decimales repetitivos

Un decimal repetitivo/periódico es un número cuyos dígitos son periódicos (repite sus valores a intervalos regulares) y se repiten infinitamente, p. $ 1/3 = 0.333333 ... $. Se puede indicar con una línea horizontal (un vínculo) o con puntos suspensivos, p. $ 0.2ov57 = 0.257575757 ... $

Cada decimal que se repite o termina es un número racional, ya que se puede convertir en una fracción.
Para convertir el decimal periódico en fracción, seguimos estos pasos

Paso 1:
Establecemos el decimal repetitivo igual a la fracción x:

Paso 2:
Movemos el/los número(s) que se repiten a la izquierda del punto decimal multiplicando el decimal por 10, 100, 1000, etc. <
Paso 3:
Restamos el número de ambos lados de la ecuación. Esto nos ayudará a deshacernos de la parte decimal:
Paso 4:
Resolvemos la ecuación para x: