Winkel

Grad und Minuten

In einem vollen Kreis gibt es 360 Grad. Ein Grad wird mit ° bezeichnet, z. B. 360°.

Jeder Grad ist in 60 Teile unterteilt, die als Minuten bezeichnet werden, wobei jeder Teil 1/60 Grad beträgt. Eine Minute wird mit ' bezeichnet, z. B. 1°=60'.

Jede Minute ist in 60 Teile aufgeteilt, wobei jeder Teil 1/60 einer Minute ist, die als Sekunden bezeichnet wird. Eine Sekunde wird mit '' bezeichnet, z. B. 1°=60 × 60=3600 Sekunden=3600''.

Manchmal ist es erforderlich, das Maß des Winkels, der als Dezimalzahl geschrieben wird, in Grad und Minuten umzuwandeln, z. B. 40.5 Grad. Dies ist:

Umrechnung zwischen Radiant(Bogenmaß) und Grad

Das Bogenmaß ist ein anderes System, wie wir ein Winkelmaß angeben. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben.

Zu jedem Winkel gehört eine bestimmte Länge des Kreisbogens. Der Umfang eines Kreises beträgt 2πr. Die Konstante π zeigt uns die Beziehung zwischen dem Radius und dem Umfang des Halbkreises auf. π ist eine irrationale Zahl (sie hat eine unendliche Dezimalentwicklung). Der genaue Wert von π ist 3.1415926535… , aber wir verwenden nur 3.14 für Berechnungen. Ein Wert von 3.14 bedeutet, dass bis zur Umfangslänge des Halbkreises etwas über 3 Radien eines gegebenen Kreises summiert werden. π ist gleich für jeden Kreis, unabhängig von der Größe des Radius. Zum Beispiel hat der Kreis mit Radius 1 einen Halbkreisumfang von 3.14 (1×3.14=3.14).

Und der Kreis mit Radius 2 hat einen Halbkreisumfang von 6.28 (2×3.14=6.28).

Zur einfachen Berechnung benutzen wir einen Kreis mit Radiuslänge = 1 (Einheitskreis). Basierend darauf setzen wir, dass 2π (rad) 360° und ein π (rad) 180° entspricht. Wir benutzen rad (Radiant) als Einheit des Bogenmaßes. Das Bogenmaß 1 rad bedeutet, dass die Bogenlänge des Kreissektor gleich dem Radius des Kreises ist. 1 Rad beträgt ungefähr $ 360 / {2π} $ oder 57°18′ Grad.

Umrechnung von Grad in Bogenmaß

Umrechnung des Bogenmaßes in Grad

Winkelarten

Der spitze Winkel beträgt weniger als 90° (grün).
Der rechte Winkel beträgt genau 90° (blau).
Der stumpfe Winkel ist größer als 90° und kleiner als 180° (braun).

Der gestreckte Winkel beträgt genau 180° (grün).
Der überstumpfer Winkel ist größer als 180° und kleiner als 360° (blau).
Der volle Winkel beträgt genau 360° (braun).

Und der Nullwinkel ist genau 0°.

Winkelmaß

Das Winkelmaß dient zur Angabe der Winkelweite eines Winkels. Ein Winkel ist ein Teil des Kreises von 360°. Der halbe Kreis (gestreckter Winkel) beträgt 180°. Ein rechter Winkel ist ein Viertel eines Kreises und beträgt 90°.

Winkel an sich schneidenden Geraden

Zwei Winkel sind Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.

Zwei Winkel sind Supplementär− oder Ergänzungswinkel, wenn sie sich zu einem gestreckten Winkel (180°) ergänzen.

Eine einfache Geradenkreuzung besteht aus zwei Geraden. Vier Winkel der Geradenkreuzung ergeben zusammen einen Vollwinkel (360°).

Nebenwinkel ist ein Paar benachbarter Winkel. Sie müssen zusammen einen gestreckten Winkel von 180° ergeben. Auf dem Bild gibt es vier Nebenwinkelpaare: α und β, β und γ, γ und δ, δ und α. Sie sind auch Ergänzungswinkel.

Scheitelwinkel sind die Winkel, die sich gegenüberliegen, wenn sich zwei Linien kreuzen. Sie sind zueinander kongruent (gleichgroß). Auf dem Bild gibt es zwei Scheitelwinkelpaare: α und γ, β und δ.

Winkelpaare an geschnittenen Parallelen

Zwei Geraden, die von einer anderen Gerade gekreuzt werden, bilden spezielle Winkelpaare:

Wechselwinkel (Z-Winkel) werden auf gegenüberliegenden Seiten der kreuzenden Gerade gebildet (grünes Paar, blaues Paar). Wenn zwei Geraden parallel sind, sind die Wechselwinkel gleich groß. Die grünen und die blauen Winkel in den Abbildungen ergänzen sich jeweils und ergeben zusammen 180°.

Stufenwinkel (F-Winkel) sind Winkel, die auf derselben Seite von kreuzenden Geraden liegen. Es sind Winkel in übereinstimmenden Ecken (vier Paare unterschiedlicher Farbe). Wenn die zwei Geraden parallel sind, sind die Stufenwinkel kongruent (gleich groß).

Nachbarwinkel (E-Winkel) sind die Winkel, die auf derselben Seite von kreuzenden Geraden liegen (blaues Paar, grünes Paar). Wenn diese zwei Geraden parallel sind, ergänzen sich die Nachbarwinkel zu 180°.

Winkel von Polygonen (Vielecke)

Die Winkel eines Dreiecks addieren sich zu 180°. Die Winkel von Vierecken ergeben zusammen 360°.

Um die Summe der Innenwinkel zu berechnen, können wir die Formel (n−2)×180° verwenden, wobei n die Anzahl der Seiten ist. Es spielt keine Rolle, ob das Vieleck regelmäßig (jede Seite und jeder Winkel haben die gleiche Größe) ist oder nicht.

Winkel am Kreis

Eine Sekante eines Kreises ist eine Gerade, deren zwei Punkte beide auf dem Kreis liegen (grüne Gerade, CD).

Eine Tangente/Kreistangente ist eine Gerade, die einen Kreis nur an einem Punkt berührt (rote, blaue Gerade). Die Verbindungslinie zwischen diesem Punkt (A oder B) und dem Kreismittelpunkt (O) ist immer senkrecht zur Tangente. Umgekehrt ist die senkrechte Gerade zum Radius (schwarze Gerade OA, OB) durch denselben Endpunkt eine Tangente.

Ein Umfangswinkel (Peripheriewinkel) in einem Kreis wird durch zwei Sekanten gebildet, die einen gemeinsamen Endpunkt auf dem Kreisumfang haben. Dieser gemeinsame Endpunkt (D) ist der Scheitelpunkt des Winkels. Hier hat der Kreis mit Mittelpunkt O den Umfangswinkel ∠ADB.

Ein Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) in einem Kreis wird durch Geraden von zwei Punkten auf dem Kreisumfang zum Mittelpunkt des Kreises gebildet. Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte eines Kreises. Hier ist es Winkel ∠AOB. In einem Kreis ist das Maß eines Mittelpunktswinkels doppelt so groß wie das Maß des Umfangswinkels mit derselbe Sekante:

In einem Kreis sind alle Umfangswinkel mit derselben Sekante kongruent (sie haben dasselbe Winkelmaß):

∠ADB≅∠AEB≅∠AFB

Satz des Thales: Jeder in einen Halbkreis eingeschriebene Winkel ist ein rechter Winkel. In anderen Wörter: Jedes Dreieck gebildet aus den beiden Endpunkten des Durchmessers und einem weiteren Punkt des Kreisumfang, ist immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Winkel zwischen einer Tangente und einer Sekante durch den Berührpunkt entspricht dem Umfangswinkel für diese Sekante.

Alle Winkel einer Farbe haben dasselbe Winkelmaß.

Ein Sehnenviereck hat jeden seiner Eckpunkte auf dem Umfang des Kreises. Die entgegengesetzten Winkel eines Sehnenvierecks addieren sich zu 180°:

Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck hat jeden seiner Eckpunkte auf dem Umfang des Kreises. Die entgegengesetzten Winkel eines Sehnenvierecks addieren sich zu 180°.