Umfang und Fläche (Flächeninhalt)
Umfang (U oder P) entspricht der Außenseite einer Form (grüne Linie).
Fläche (A) ist die Größe des Raums (gemessen in quadratischen Einheiten, z.B. cm2 , m2) innerhalb einer Form (grauer Bereich)
Geometrie
Finde den Punkt
Finde den Weg
Ebene geometrische Grundfiguren
Geometrische Körper
Symmetrie
Zähle die Würfel (schwierig)
Bauplan des Würfelgebäudes
Ebene Figuren – Ecken und Seiten
Geometrische Körper – Ecken, Kanten und Flächen
Umfang verschiedener Figuren
Flächeninhalt und Umfang von Figuren vergleichen
Umfang von Quadrat und Rechteck
Umfang und Fläche von Rechtecken und Quadraten
Rechteck und Quadrate sind Vierecke mit vier rechten Winkeln.
Bei Quadraten sind alle vier Seiten gleich lang, sodass der Umfang viermal so lang ist wie eine Seite a.
$$ U=4a $$
$$ U=2a + 2b $$
Die Fläche wird durch folgende Formeln angegeben:
Quadrat:
$$ A=a ^ 2 $$
Rechteck:
$$ A=ab $$
Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck
Umfang und Fläche von Rechtecken und Quadraten
Rechteck und Quadrate sind Vierecke mit vier rechten Winkeln.
Bei Quadraten sind alle vier Seiten gleich lang, sodass der Umfang viermal so lang ist wie eine Seite a.
$$ U=4a $$
$$ U=2a + 2b $$
Die Fläche wird durch folgende Formeln angegeben:
Quadrat:
$$ A=a ^ 2 $$
Rechteck:
$$ A=ab $$
Volumen und Oberfläche von Würfeln und Quadern
Würfel und rechteckiges Prisma
Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper mit 6 Seiten, deren Länge, Breite und Höhe gleich sind. Seine Winkel sind rechtwinklig.
Wir verwenden die folgenden Formeln, um das Volumen und die Oberfläche zu berechnen:
$$ V=a × a × a=a^3 $$
$$ O=2a × a + 2a × a + 2a × a=$$
$$=6a^2 $$
Ein rechteckiges Prisma ist ein dreidimensionaler Körper mit sechs Flächen, die Rechtecke sind. Seine Winkel sind rechteckig.
$$ V=a × b × c $$
$$ O=2a×b + 2b×c + 2a×c $$
Volumen und Oberfläche von Zylindern, Kegeln und Kugeln
Kugel
Eine Kugel ist ein perfekt runder fester Körper, bei der jeder Punkt auf ihrer Oberfläche gleich weit vom Zentrum (Mittelpunkt) entfernt ist. Der Radius (r) einer Kugel ist der Abstand vom exakten Mittelpunkt der Kugel (C) zu einem beliebigen Punkt an der Oberfläche dieser Kugel. Wir berechnen das Volumen und die Oberfläche einer Kugel mit den folgenden Formeln (die Oberfläche entspricht den Flächen von vier Kreisen mit demselben Radius):
$$ O=4πr^2 $$
Von allen Festkörpern hat eine Kugel die kleinste Oberfläche für ein gegebenes Volumen. Andere Körper mit demselben Volumen haben eine größere Oberfläche.
$$ V=4/3 πr^3 $$
Zylinder
Ein Zylinder ist ein Festkörper mit zwei gleichen parallelen (normalerweise kreisförmigen) Seiten (Grund- und Deckfläche), die durch eine gekrümmte Mantelfläche verbunden sind. Grund- und Deckfläche haben beide den gleichen Flächeninhalt AG.
Die Höhe (Körperhöhe, h) eines Zylinders ist der senkrechte Abstand zwischen seiner Grund- und Deckfläche.
Ein Zylinder kann gerade oder schief sein. Ein gerader Zylinder hat eine Grund- und Deckfläche, die gerade übereinander liegen.
In einem schiefen Zylinder sind die Grund- und Deckfläche parallel zueinander. Sie liegen allerdings nicht übereinander, sondern sind versetzt angeordnet. Wenn ein gerader und ein schiefer Zylinder die gleiche Höhe und Grundfläche haben, haben sie das gleiche Volumen.
$$V=A_G×h=πr^2h $$
Die Oberfläche ist die Summe aus Grund- und Deckfläche (AG) und der Mantelfläche AM. Wir müssen die Seitenlänge/Mantellinie s kennen, um die Mantelfläche zu berechnen. Nur bei einem geraden Zylinder entspricht die Seitenlänge der Höhe (a=s1). Bei einem schiefen Zylinder ist es s2.
$$O=2×A_G + A__M=$$
$$=2πr^2 + 2πr ×s$$
Kegel
Ein Kegel ist geometrischer Körper, der durch ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt wird, das sich um eine seiner Katheten dreht. Es kann gerade oder schief sein.
Bei einem geraden Kegel befindet sich die Spitze über dem Mittelpunkt seiner Grundfläche.
Bei einem schiefen Kegel liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt. Die Grundfläche kann ein Kreis oder eine Ellipse sein.
Ein Kegel ist eng mit einer Pyramide verwandt und die Formeln für ihr Volumen sind ähnlich (das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel eines Prismas mit derselben Breite, Länge und Höhe und ein Kegel ist ein Drittel eines Zylinders mit derselben Grundfläche und Höhe).
$$ V=1/3 × A_G × h $$
Die Seitenlänge/Mantellinie (s) eines geraden Kegels ist die Länge von der Spitze des Kegels bis zur Kante der Grundfläche. Für schiefe Kegel gibt es diese Definition nicht, weil die Seitenlängen nicht gleich sind.
Die Oberfläche eines Kegels ist die Summe aus seiner Grundfläche AG und der Mantelfläche AM. Die Mantelfläche eines geraden Kegels kann wie folgt berechnet werden:
$$A_M=πrs$$
Die Oberfläche des geraden Kreiskegels (Grundfläche AG ist ein Kreis) beträgt:
$$ O=A_G + A_M=$$
$$=πr^2 + πrs=πr(r+s) $$
