Quadrate der Zahlen von 1 bis 12
Eine Quadratzahl ist eine mit sich selbst multiplizierte Zahl.
Wir können dies als zweite Potenz oder "2/3/4 zum Quadrat" oder "2/3/4 hoch zwei" lesen.
Das Symbol 2 nennen wir Exponent . Die Zahl wird als Basis bezeichnet:
Eine Kubikzahl ist eine Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert wird:
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer Zahl ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt. Zum Beispiel:
Wenn wir die Quadratwurzel ziehen, verwenden wir nur die nichtnegative Wurzel. Daher:
Wenn wir jedoch Zahlen suchen, deren Quadrat 16 ist, kommen sowohl eine positive als auch eine negative Zahl infrage:
Daher hat die Gleichung
zwei Lösungen:
Es ist daher wichtig, zwischen dem Ziehen einer Quadratwurzel und dem Lösen einer Gleichung mit einem Quadrat zu unterscheiden:
$√16 = 4$, aber die Gleichung $x^2 = 16$ hat die Lösungen $x = 4$ und $x = -4$.
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen $√$ heißt Radikand. Zum Beispiel ist bei $√64$ die Zahl 64 der Radikand.
Bei höheren Wurzeln schreiben wir den Wurzelexponenten über das Wurzelzeichen. Zum Beispiel ist bei $√^3{64};$ die Zahl 64 der Radikand und 3 der Wurzelexponent.
Potenzen mit Exponenten 0, 1 und größer
Ein Exponent (Hochzahl) gibt an, wie oft eine Zahl als Faktor verwendet wird. Die Zahl, die potenziert wird, heißt Basis (Grundzahl), und die kleine hochgestellte Zahl heißt Exponent (Hochzahl). Der gesamte Ausdruck heißt Potenz.
Zum Beispiel ist bei $2^4$ die Zahl 2 die Basis (Grundzahl) und die Zahl 4 der Exponent (Hochzahl). Der Ausdruck $2^4$ ist eine Potenz.
Der Exponent 4 bedeutet, dass die Basis 2 viermal als Faktor verwendet wird. $2^4$ liest man „zwei hoch vier“. Der Wert der Potenz ist 16.
Hier bedeutet der Exponent 3, dass die Zahl 3 dreimal als Faktor verwendet wird. $3^3$ liest man „drei hoch drei“. Der Wert der Potenz ist 27.
Für den Exponenten 2 gibt es eine besondere Bezeichnung. Zum Beispiel kann man $5^2$ als „fünf hoch zwei“ oder „fünf zum Quadrat“ lesen. Man sagt auch: $5^2$ ist das Quadrat von 5.
Es gibt einige wichtige Regeln für Exponenten, die wir uns merken müssen.
Jede von null verschiedene Zahl mit dem Exponenten 0 ist gleich 1:
Zum Beispiel:
Eine Zahl mit dem Exponenten 1 bleibt unverändert:
Zum Beispiel:
Ein negativer Exponent bedeutet, dass wir den Kehrwert der Potenz mit dem entsprechenden positiven Exponenten bilden.
Zum Beispiel:
Diese Regel gilt, wenn die Basis nicht null ist.
Ein gebrochener Exponent stellt eine Wurzel dar. Ein Exponent von $1/n$ bedeutet die n-te Wurzel der Zahl.
Zum Beispiel bedeutet der Exponent $1/2$ die Quadratwurzel:
Der Exponent $1/3$ bedeutet die Kubikwurzel:
Potenzen und Wurzeln von Dezimalzahlen
Potenzen und Wurzeln von Brüchen
Teilweises Wurzelziehen
Um Wurzeln zu vereinfachen, können wir folgende Formel verwenden:
Zuerst bestimmen wir das Quadrat innerhalb der Quadratwurzel:
Dies kann als 2√6 geschrieben werden.
Numerische Ausdrücke
Numerische Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen
Um Wurzeln zu vereinfachen, können wir folgende Formel verwenden:
Zuerst bestimmen wir das Quadrat innerhalb der Quadratwurzel:
Dies kann als 2√6 geschrieben werden.
Wir können auch folgende Formeln verwenden:
