Gleichungen
Alle Gleichungen haben zwei Seiten: eine linke Seite (LS) und eine rechte Seite (RS). Einige Gleichungen habe Variablen (meistens x oder y). Eine Variable ist ein Buchstabe, der als Platzhalter für einen unbekannten Wert verwendet wird.
Die einfachste Methode zum Lösen einer Gleichung besteht darin, die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren und alles andere auf die gegenüberliegende Seite zu schreiben.
Um das zu erreichen, können wir auf beiden Seiten der Gleichung (addieren, subtrahieren, jedes Glied multiplizieren, jedes Glied dividieren). Diese Vorgänge nennen wir Äquivalenzumformungen (sie ändern die Wahrheitswert der Gleichung nicht).
$$ y + 3=8 $$
Um die Variable in diesem Beispiel zu isolieren, ziehen wir 3 von beiden Seiten der Gleichung ab. Als erstes wird die Zahl 3 auf der linken Seite (LS) subtrahiert und dann die Zahl 3 auf der rechten Seite (RS) von der Zahl 8 abgezogen. Wir erhalten y =5:
$$ y + 3bo−bo3=8bo−bo3 $$
$$ y=5 $$
Anderes Beispiel:
$$ 5x + 3=x + 11 $$
$$ 5x + 3bo−bo3=x + 11bo−bo3 $$
$$ 5x=x + 8 $$
$$ 5x bo−bo x=x bo−bo x + 8 $$
$$ 4x=8 $$
$$ 4x bo÷ bo4=8 bo÷bo4 $$
$$ x=2 $$
Es ist wichtig daran denken, dass wir beim Multiplizieren oder Dividieren in Gleichungen mit jedem Glied der Gleichung multiplizieren oder dividieren müssen.
$$ 12x + 4=4x $$
Um x zu isolieren, müssen wir beide Seiten der Gleichung durch 4 teilen.
$$ {12x} / 4 + 4/4={4x} / 4 $$
$$ 3x + 1=x $$
$$ 3x − 3x + 1=x − 3x $$
$$ 1=−2x $$
$$ 1 / {− 2}=− {1/2}=x $$
Genauso wichtig ist es Klammern in der Gleichung zu beachten. Wir müssen sie vereinfachen bevor wir weiter rechnen können.
$$ 4 (x + 3)=20 $$
In dieser Gleichung können wir nicht einfach 3 nehmen und von beiden Seiten abziehen. Zuerst müssen wir die Klammern auflösen.
$$ 4x + 12=20 $$
$$ 4x=20−12 $$
$$ 4x=8 $$
$$ x=2 $$
$$ 10− (x + 4)=2 $$
$$ 10 − x − 4=2 $$
$$ 6 − x=2 $$
$$ 6−2=x $$
$$ x=4 $$
Ein Ausdruck (wie x+1) im Nenner wird dabei genauso behandelt, als ob es sich um einen Ausdruck in Klammern handeln würde.
$$ 12 / {x + 1}=4 $$
$$ 12 ÷ (x + 1)=4 $$
$$ 12=4 (x + 1) $$
$$ 12=4x + 4 $$
$$ 12−4=4x $$
$$ 8=4x $$
$$ x=2 $$
