Division durch ganze Zahlen
Bei einer Division wie $9 ÷ 2$ heißt die Zahl, die geteilt wird (9), Dividend, die Zahl, durch die geteilt wird (2), Divisor, und das Ergebnis heißt Quotient.
Wenn der Divisor eine ganze Zahl ist, können wir wie gewohnt dividieren. Der Quotient muss keine ganze Zahl sein – er kann auch eine Dezimalzahl sein.
$$9 ÷ 2 = 4.5$$
Die 2 passt viermal vollständig in die 9 ($4 × 2 = 8$), und 1 bleibt übrig. Beim Rest hören wir jedoch nicht auf – wir teilen weiter. Die verbleibende 1 ist die Hälfte von 2, und die Hälfte ist $0.5$. Daher ist das Ergebnis $4 + 0.5 = 4.5$.
Die gleiche Regel gilt, wenn der Dividend bereits eine Dezimalzahl ist. Wir dividieren wie gewohnt und setzen den Dezimalpunkt im Quotienten direkt über den Dezimalpunkt im Dividenden:
$$4.8 ÷ 4 = 1.2$$
Hier gilt $4 ÷ 4 = 1$ und $0.8 ÷ 4 = 0.2$, zusammen ergibt das $1.2$.
Division durch Dezimalzahlen
Wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist, ist die direkte Division schwieriger. Es ist viel einfacher, den Divisor zuerst in eine ganze Zahl umzuwandeln.
Dazu multiplizieren wir sowohl den Dividenden als auch den Divisor mit derselben Zahl: 10, 100, 1000 usw. – je nachdem, was nötig ist, damit der Divisor keine Dezimalstellen mehr hat.
Warum ändert sich dadurch das Ergebnis nicht? Eine Division kann als Bruch geschrieben werden: $7 ÷ 3.5$ ist dasselbe wie $7/3.5$. Wenn wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, bleibt der Wert des Bruchs gleich – genauso wie $1/2$ und $10/20$ gleich sind. Der Quotient bleibt also gleich, nur die Zahlen werden einfacher.
Zum Beispiel:
$$7 ÷ 3.5 = 70 ÷ 35 = 2$$
Wir haben beide Zahlen mit 10 multipliziert. Der Divisor 3.5 wurde zur ganzen Zahl 35 und $70 ÷ 35$ lässt sich leicht berechnen: Das Ergebnis ist 2. Probe: $2 × 3.5 = 7$
Verschieben des Dezimalpunkts in beiden Zahlen
Anstatt an die Multiplikation mit 10, 100 oder 1000 zu denken, können wir uns vorstellen, dass wir den Dezimalpunkt in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben.
Beim Multiplizieren mit 10 wird der Dezimalpunkt um eine Stelle verschoben, mit 100 um zwei Stellen und mit 1000 um drei Stellen.
Eine einfache Regel: Zähle die Dezimalstellen im Divisor. Um genau so viele Stellen musst du den Dezimalpunkt in beiden Zahlen verschieben.
Zum Beispiel:
$$0.7 ÷ 0.35$$
Der Divisor 0.35 hat zwei Dezimalstellen. Deshalb verschieben wir den Dezimalpunkt in beiden Zahlen um zwei Stellen nach rechts. Aus $0.35$ wird $35$ und aus $0.7$ wird $70$ (wir ergänzen eine Null, denn $0.7 = 0.70$):
$$0.7 ÷ 0.35 = 70 ÷ 35 = 2$$
Es ist wichtig, den Dezimalpunkt im Dividenden und im Divisor um gleich viele Stellen zu verschieben. Wenn du ihn unterschiedlich weit verschiebst, ist das Ergebnis falsch.
Division mit Brüchen
Wir können dieselbe Idee auch auf eine andere Weise verstehen. Jede Dezimalzahl kann als Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner geschrieben werden:
$$0.7 = 7/10 ;;; 0.35 = 35/100$$
Beim Dividieren durch einen Bruch multiplizieren wir mit seinem Kehrwert – wir drehen den zweiten Bruch um und multiplizieren:
$$0.7 ÷ 0.35 = 7/10 ÷ {35/100} = 7/10 × 100/35 = 700/350 = 2$$
Wir erhalten wieder dasselbe Ergebnis $2$. Im mittleren Schritt steht die 100 aus dem Nenner von $0.35$ nach dem Bilden des Kehrwerts oben und kann mit der 10 im Nenner von $0.7$ gekürzt werden. Genau deshalb funktioniert das „Verschieben des Dezimalpunkts in beiden Zahlen“ – die entsprechenden Faktoren 10, 100 oder 1000 kürzen sich.
Noch ein Beispiel:
$$4.8 ÷ 1.2 = 48/10 ÷ {12/10} = 48/10 × 10/12 = 48/12 = 4$$
Beide Nenner sind 10, daher kürzen sie sich vollständig und es bleibt nur $48 ÷ 12 = 4$.
Zuerst eine einfachere Division finden
Manchmal ist der Divisor eine ganze Zahl, aber der Dividend eine kleine Dezimalzahl, zum Beispiel $0.07 ÷ 35$. Eine solche Aufgabe lässt sich nicht leicht direkt im Kopf berechnen. Manchmal werden die Zahlen nach dem Verschieben des Dezimalpunkts auch sehr groß, zum Beispiel $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.
In solchen Fällen verwenden wir eine Methode in zwei Schritten:
Schritt 1. Wir lassen den Dezimalpunkt und die Nullen für einen Moment außer Acht und suchen die einfachere Division, die in der Aufgabe steckt. In allen folgenden Beispielen ist das $70 ÷ 35 = 2$.
Schritt 2. Wir setzen den Dezimalpunkt im Ergebnis an die richtige Stelle. Dabei helfen uns zwei Regeln:
| Regel |
Beispiel |
Wenn wir den Dividenden 10-mal kleiner machen, wird auch der Quotient 10-mal kleiner – der Dezimalpunkt wird um eine Stelle nach links verschoben.
Eine kleinere Zahl zu teilen ergibt einen kleineren Quotienten. |
$70 ÷ 35 = 2$
$7 ÷ 35 = 0.2$
$0.7 ÷ 35 = 0.02$ |
Wenn wir den Divisor 10-mal kleiner machen, wird der Quotient 10-mal größer – der Dezimalpunkt wird um eine Stelle nach rechts verschoben.
Durch eine kleinere Zahl zu teilen ergibt einen größeren Quotienten. |
$70 ÷ 35 = 2$
$70 ÷ 3.5 = 20$
$70 ÷ 0.35 = 200$ |
Nun wenden wir beide Schritte auf zwei schwierigere Beispiele an.
Beispiel 1: $0.07 ÷ 35$. Die einfachere Division ist $70 ÷ 35 = 2$. Unser Dividend ist aber nicht 70, sondern $0.07$. Das ist 1000-mal kleiner ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, drei Stellen). Deshalb muss auch der Quotient 1000-mal kleiner als 2 sein. Wir verschieben den Dezimalpunkt um drei Stellen nach links:
$$0.07 ÷ 35 = 0.002$$
Probe: $0.002 × 35 = 0.07$
Beispiel 2: $7 ÷ 0.035$. Zuerst machen wir den Divisor zu einer ganzen Zahl, indem wir den Dezimalpunkt in beiden Zahlen um drei Stellen verschieben: $7000 ÷ 35$. Die einfachere Division ist wieder $70 ÷ 35 = 2$, aber unser Dividend 7000 ist 100-mal größer als 70 ($70 → 700 → 7000$, zwei Stellen). Deshalb ist auch der Quotient 100-mal größer als 2 – wir verschieben den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts:
$$7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35 = 200$$
Probe: $200 × 0.035 = 7$
Vergleiche dies mit $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Beachte: Ein kleinerer Divisor ergibt einen größeren Quotienten. Beim Teilen von 7 durch 0.035 erhalten wir ein viel größeres Ergebnis als beim Teilen von 7 durch 0.35. Das ist logisch: Je kleiner die Teile sind, in die wir 7 aufteilen, desto mehr Teile erhalten wir.
