Division und Teilbarkeit

Rest nach Division

Das Ergebnis einer Division ist nicht immer eine schöne und runde Zahl, z.B. bei $7÷3$. Wir wissen, dass die Zahl 3 zweimal in 7 passt. $3×2=6$. Es ist noch 1 übrig.

Wir nennen 1 in diesem Fall den Rest nach der Division (7 ist der Dividend und 3 ist der Divisor).

Um es zu berechnen, müssen wir das größte Vielfache des Divisors finden, das niedriger als der Dividend ist und es von dem Dividend abziehen.

Beispiel:

4 ist der Rest nach Division von 5:

Wir schreiben auch:

Es gilt, dass der Rest einer Division immer kleiner als der Divisor sein muss. Zum Beispiel kann bei einer Division durch 8 der Rest zwischen 1 und 7 liegen. Ist der Dividend ohne Rest teilbar, so ist der Rest 0.

Wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist, ist der Quotient immer 0 und der Rest ist der Dividend selbst. Zum Beispiel ist bei der Division $2 ÷ 5$ das Ergebnis 0 mit Rest 2, weil 5 in 2 überhaupt nicht hineingeht.

Rest nach Division

Das Ergebnis einer Division ist nicht immer eine schöne und runde Zahl, z.B. bei $7÷3$. Wir wissen, dass die Zahl 3 zweimal in 7 passt. $3×2=6$. Es ist noch 1 übrig.

Wir nennen 1 in diesem Fall den Rest nach der Division (7 ist der Dividend und 3 ist der Divisor).

Um es zu berechnen, müssen wir das größte Vielfache des Divisors finden, das niedriger als der Dividend ist und es von dem Dividend abziehen.

Beispiel:

4 ist der Rest nach Division von 5:

Wir schreiben auch:

Es gilt, dass der Rest einer Division immer kleiner als der Divisor sein muss. Zum Beispiel kann bei einer Division durch 8 der Rest zwischen 1 und 7 liegen. Ist der Dividend ohne Rest teilbar, so ist der Rest 0.

Wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist, ist der Quotient immer 0 und der Rest ist der Dividend selbst. Zum Beispiel ist bei der Division $2 ÷ 5$ das Ergebnis 0 mit Rest 2, weil 5 in 2 überhaupt nicht hineingeht.

Rest nach Division

Das Ergebnis einer Division ist nicht immer eine schöne und runde Zahl, z.B. bei $7÷3$. Wir wissen, dass die Zahl 3 zweimal in 7 passt. $3×2=6$. Es ist noch 1 übrig.

Wir nennen 1 in diesem Fall den Rest nach der Division (7 ist der Dividend und 3 ist der Divisor).

Um es zu berechnen, müssen wir das größte Vielfache des Divisors finden, das niedriger als der Dividend ist und es von dem Dividend abziehen.

Beispiel:

4 ist der Rest nach Division von 5:

Wir schreiben auch:

Es gilt, dass der Rest einer Division immer kleiner als der Divisor sein muss. Zum Beispiel kann bei einer Division durch 8 der Rest zwischen 1 und 7 liegen. Ist der Dividend ohne Rest teilbar, so ist der Rest 0.

Wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist, ist der Quotient immer 0 und der Rest ist der Dividend selbst. Zum Beispiel ist bei der Division $2 ÷ 5$ das Ergebnis 0 mit Rest 2, weil 5 in 2 überhaupt nicht hineingeht.

Rest nach Division

Das Ergebnis einer Division ist nicht immer eine schöne und runde Zahl, z.B. bei $7÷3$. Wir wissen, dass die Zahl 3 zweimal in 7 passt. $3×2=6$. Es ist noch 1 übrig.

Wir nennen 1 in diesem Fall den Rest nach der Division (7 ist der Dividend und 3 ist der Divisor).

Um es zu berechnen, müssen wir das größte Vielfache des Divisors finden, das niedriger als der Dividend ist und es von dem Dividend abziehen.

Beispiel:

4 ist der Rest nach Division von 5:

Wir schreiben auch:

Es gilt, dass der Rest einer Division immer kleiner als der Divisor sein muss. Zum Beispiel kann bei einer Division durch 8 der Rest zwischen 1 und 7 liegen. Ist der Dividend ohne Rest teilbar, so ist der Rest 0.

Wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist, ist der Quotient immer 0 und der Rest ist der Dividend selbst. Zum Beispiel ist bei der Division $2 ÷ 5$ das Ergebnis 0 mit Rest 2, weil 5 in 2 überhaupt nicht hineingeht.

Schriftliche Division

Ohne Taschenrechner ist das Teilen größere Zahlen schwierig, daher verwenden wir die schriftliche Form.

Der Dividend steht an erster Stelle (in unserem Beispiel ist es 1752). Nach dem Trennzeichen folgt der Divisor (im Beispiel ist es 8). Wir prüfen, ob die erste Ziffer des Dividenden (hier 1) gleich oder größer als der Divisor (hier 8) ist. Wenn ja, können wir diese Zahlen teilen. In unserem Fall ist die erste Ziffer des Dividenden kleiner als der Divisor, daher müssen wir auch die zweite Ziffer des Dividenden verwenden. Wir prüfen also, wie oft 8 in 17 passt. Wir schreiben 2 in das Ergebnis. Dann multiplizieren wir den Divisor und das Ergebnis (2×8=16), d.h. die Zahl 16 schreiben wir unter die 17 und subtrahieren sie (17−16=1). Dieser Rest muss kleiner als der Divisor sein.

Danach schreiben wir die nächste Ziffer (5) hinter den Rest (1 → 15). Da 8 nur einmal in 15 passt, erhalten wir als Ergebnis 1. Wir multiplizieren dieses Ergebnis erneut mit dem Divisor (8) und schreiben es unter die Zahl 15. Wir subtrahieren: 15−8=7

Wir schreiben eine weitere Ziffer (2) hinter die Ziffer 7. Wir wissen, dass 8 genau neunmal in 72 passt, also schreiben wir 9 in das Ergebnis und der Rest ist 0. Als Endergebnis erhalten wir 219.

Schriftliche Division durch eine einstellige Zahl mit Rest

Wir verwenden die gleiche Methode für das schriftliche Teilen mit einem Rest wie für das Teilen ohne Rest.

Zuerst teilen wir Schritt für Schritt die Ziffern des Dividenden durch den Divisor. Wenn wir beim letzten Schritt angekommen sind, sehen wir, dass bei der Division ein Rest von 3 verbleibt. Wir können schreiben, dass das Ergebnis unseres Beispiels 132 mit Rest 3 ist. Es ist jedoch möglich mit Kommazahlen weiterzurechnen (durch das Hinzufügen von 0 zum Rest). Wir würden dann die nächsten Ziffern des Ergebnis nach dem Dezimalkomma schreiben.

Schriftliche Division

Ohne Taschenrechner ist das Teilen größere Zahlen schwierig, daher verwenden wir die schriftliche Form.

Der Dividend steht an erster Stelle (in unserem Beispiel ist es 1752). Nach dem Trennzeichen folgt der Divisor (im Beispiel ist es 8). Wir prüfen, ob die erste Zahl des Dividenden (hier 1) gleich oder größer als der Divisor (hier 8) ist. Wenn ja, können wir diese Zahlen teilen. In unserem Fall ist die erste Zahl des Dividenden kleiner als der Divisor, daher müssen wir auch die zweite Zahl des Dividenden verwenden. Wir prüfen also, wie oft 8 in 17 passt. Wir schreiben 2 in das Ergebnis. Dann multiplizieren wir den Divisor und das Ergebnis (8×2=16), d.h. die Zahl 16 schreiben wir unter die 17 und subtrahieren sie (17−16=1). Dieser Rest muss kleiner als der Divisor sein.

Danach schreiben wir die nächste Ziffer (5) hinter den Rest (1 → 15). Da 8 nur einmal in 15 passt, erhalten wir als Ergebnis 1. Wir multiplizieren dieses Ergebnis erneut mit dem Divisor (8) und schreiben es unter die Zahl 15.

Wir subtrahieren (15−8=7) und schreiben eine weitere Ziffer (2) hinter den Rest 7. Wir wissen, dass 8 genau neunmal in 72 passt, also schreiben wir 9 in das Ergebnis und der Rest ist 0. Als Endergebnis erhalten wir 219.

Schriftliche Division durch eine einstellige Zahl mit Rest

Wir verwenden die gleiche Methode für das schriftliche Teilen mit einem Rest wie für das Teilen ohne Rest.

Zuerst teilen wir Schritt für Schritt die Ziffern des Dividenden durch den Divisor. Wenn wir beim letzten Schritt angekommen sind, sehen wir, dass bei der Division ein Rest von 3 verbleibt. Wir können schreiben, dass das Ergebnis unseres Beispiels 132 mit Rest 3 ist. Es ist jedoch möglich mit Kommazahlen weiterzurechnen (durch das Hinzufügen von 0 zum Rest). Wir würden dann die nächsten Ziffern des Ergebnis nach dem Dezimalkomma schreiben.

Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie mit 0, 2, 4, 6 oder 8 endet. Diese Zahlen werden als gerade Zahlen bezeichnet. Zahlen, die nicht durch 2 teilbar sind, werden als ungerade Zahlen bezeichnet.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind oder die Zahl mit 00 endet.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie mit 0 oder 5 endet.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 und 2 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind oder die Zahl mit 000 endet.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie mit 0 endet.

Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie mit 0, 2, 4, 6 oder 8 endet. Diese Zahlen werden als gerade Zahlen bezeichnet. Zahlen, die nicht durch 2 teilbar sind, werden als ungerade Zahlen bezeichnet.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind oder die Zahl mit 00 endet.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie mit 0 oder 5 endet.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 und 2 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind oder die Zahl mit 000 endet.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie mit 0 endet.

Vielfache

Wenn wir eine Zahl mit anderen ganzen Zahlen multiplizieren, erhalten wir das Vielfache dieser Zahl. Das Vielfache von 5 sind 5, 10, 15, 20, 25 und so weiter.

Es gibt unendlich viele Vielfache einer bestimmten Zahl.

Faktoren/Teiler

Faktoren/Teiler einer Zahl sind die Zahlen, die wir miteinander multiplizieren, um diese Zahl zu erhalten. Beispiel: 8 ist ein Faktor von 24, da 8 ohne Rest genau dreimal in 24 passt.

Faktorpaare

Faktorpaare sind zwei ganze Zahlen, die sich zu einer bestimmten Zahl multiplizieren. Beispiel: die Faktorpaare von 20 sind 1 und 20; 2 und 10; 4 und 5. Alle Faktoren von 20 sind also: 1, 2, 4, 5, 10 und 20. Jede ganze Zahl hat eine endliche Anzahl von Faktoren.