Multiplizieren

Multiplizieren mit 10, 100 und 1000

Das Multiplizieren mit diesen Zahlen ist in der Mathematik besonders praktisch, weil man dafür weder einen Taschenrechner noch komplizierte Rechnungen braucht. Alles beruht auf dem Verschieben der Stellenwerte.

Wenn wir eine ganze Zahl (eine Zahl ohne Dezimalpunkt) multiplizieren, müssen wir nur so viele Nullen anhängen, wie der Multiplikator Nullen hat:

Das funktioniert auch bei größeren Zahlen – wir hängen die Nullen einfach an die letzte Ziffer an:

Vielfache von Zehnern, Hundertern und Tausendern

Dasselbe Prinzip funktioniert auch dann, wenn wir nicht direkt mit 10, 100 oder 1000 multiplizieren, sondern mit einem Vielfachen davon, zum Beispiel mit 50 oder 700. Solche Zahlen können wir in Faktoren zerlegen, damit die Multiplikation übersichtlicher wird.

Zum Beispiel gilt $50 = 5 × 10$ und $700 = 7 × 100$. Daher:

Die schnelle Methode lautet also: Wir multiplizieren zuerst die Zahlen ohne die Nullen am Ende ($5 × 7 = 35$) und hängen danach alle Nullen an, die beide Faktoren zusammen haben (eine Null aus 50 und zwei Nullen aus 700, also insgesamt drei): $35000$.

Versteckte Nullen

Achte auf einen häufigen Fehler. Manchmal entsteht bereits beim Multiplizieren der Zahlen ohne die Nullen am Ende eine Null – und diese kann leicht übersehen werden. Betrachten wir das Beispiel:

Schritt 1. Wir multiplizieren die Zahlen ohne die Nullen am Ende: $5 × 6 = 30$. Das Ergebnis endet bereits mit einer Null – das ist die versteckte Null. Sie stammt nicht von den Nullen der ursprünglichen Faktoren, sondern entsteht durch die Multiplikation.

Schritt 2. Wir hängen die Nullen aus den ursprünglichen Faktoren an: 50 hat eine Null und 60 hat eine Null, also insgesamt zwei Nullen.

Schritt 3. Wir hängen diese beiden Nullen an die Zahl $30$ an: $3000$.

Wenn man die versteckte Null übersieht, könnte man $300$ schreiben – das ist aber zehnmal zu wenig. Zur Kontrolle: $50 × 60$ muss zum Beispiel größer sein als $50 × 50 = 2500$, also kann $300$ nicht richtig sein.

Versteckte Nullen entstehen immer dann, wenn das Produkt der Zahlen ohne die Nullen am Ende selbst mit einer Null endet, zum Beispiel bei $2 × 5 = 10$, $4 × 5 = 20$, $5 × 8 = 40$ oder $25 × 4 = 100$:

Die Regel ist einfach: Die Nullen aus den ursprünglichen Faktoren werden immer an das vollständige Produkt der Zahlen ohne die Nullen am Ende angehängt – einschließlich der Nullen, die bereits in diesem Produkt enthalten sind. Nullen, die im Produkt schon vorhanden sind, werden niemals ersetzt oder weggelassen.

Gittermultiplikation

Bei der Gittermultiplikation werden die Zahlen in vorbereitete Tabellen eingetragen, um die Rechnung zu vereinfachen.

Wenn wir zum Beispiel 29 × 4 berechnen möchten, tragen wir die Produkte der einzelnen Ziffern in diagonal geteilte Kästchen ein. In unserem Fall: 9 × 4 = 36 und 2 × 4 = 8. Ist das Produkt kleiner als 10, empfiehlt es sich, zur besseren Übersicht eine 0 in das Zehnerfeld zu schreiben – siehe folgende Abbildung.

Wenn alle Zahlen eingetragen sind, addieren wir die Zahlen schräg von rechts unten nach links oben. Die Einer schreiben wir direkt in das Ergebnisfeld, die Zehner addieren wir zum nächsten schrägen Streifen. Die erste diagonale Spalte enthält nur die 6, aber in der nächsten rechnen wir 3 + 8 = 11. Hier schreiben wir die Einerzahl 1 in das untere (gelbe) Feld und die Zehnerzahl 1 addieren wir zum nächsten diagonalen (weißen) Streifen (0 + 1 = 1). Die Zahlen, die wir in der unteren Reihe erhalten, ergeben schließlich das Ergebnis der Multiplikation: 116.

Gittermultiplikation

Die Gittermultiplikation wird mithilfe vorbereiteter Tabellen durchgeführt.

Wenn wir $38 × 27$ berechnen möchten, tragen wir die Ergebnisse der einzelnen Multiplikationen in die diagonal geteilten Felder ein. In unserem Fall gilt: $3 × 2 = 6$, $8 × 2 = 16$, $3 × 7 = 21$ und $8 × 7 = 56$. Wenn das Ergebnis einer einzelnen Multiplikation kleiner als 10 ist, ist es zur besseren Übersicht sinnvoll, an der Zehnerstelle eine 0 einzutragen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

Wenn wir alle Zahlen multipliziert haben, addieren wir die Zahlen schrittweise in diagonaler Richtung von rechts nach links. Wir schreiben die Einer auf, die Zehner addieren wir zur nächsten diagonalen Spalte hinzu. In unserem Bild gilt zum Beispiel: $6 + 5 + 1 = 12$. Die 2 schreiben wir in das untere Feld, und die 1 addieren wir zur nächsten diagonalen Spalte. Die Zahlen, die wir nach dem Addieren erhalten, lesen wir von oben nach unten und nach rechts. So erhalten wir das Ergebnis der gesamten Multiplikation. In unserem Fall ist das die Zahl 1026.

Schriftliche Multiplikation

Die schriftliche Multiplikation hilft uns auch größere Zahlen berechnen zu können.

Um die Berechnung zu beginnen, schreiben wir den größeren Faktor zuerst (im Beispiel 348 > 3) und den kleineren Faktor an die zweite Stelle (Beispiel 348×3). Danach unterstreichen wir beide Faktoren. Wir beginnen die Berechnung von hinten und multiplizieren zuerst mit der kleineren Zahl die Einer der größeren Zahl, dann die Zehner, dann die Hunderter usw. In unserem Fall multiplizieren wir zuerst 8×3, was 24 ist. Unter den zweiten Faktor schreiben wir nur 4 als letzte Ziffer aus der Zahl 24 und erinnern uns an den Rest (2) bei der nächsten Multiplikation. Als nächstes berechnen wir 4×3 und addieren den Rest 2 aus unserer vorherigen Berechnung zum Ergebnis (4×3+2=14). Wir nehmen wieder nur die letzte Ziffer 4 und merken uns den Rest (1). Anschließend berechnen wir 3×3 gleich 9 und addieren unseren Rest von 1, so dass wir 10 erhalten. An der Tausenderstelle befinden sich keine Ziffern mehr, daher schreiben wir an den Anfang des Ergebnisses die Zahl 10.

Multiplikation mit einer zweistelligen Zahl

Beim Multiplizieren mit einer zweistelligen Zahl wählen wir das gleiche Verfahren wie bei der Verwendung eines einstelligen Faktors. Wir schreiben die Zahlen so, dass sie mit dem größeren Faktor beginnen (348×32). Dann multiplizieren wir zunächst alle 3 Ziffern der größeren Zahl mit der ersten Ziffer des kleineren Faktors (348×3). Wie im vorherigen Beispiel beginnen wir rückwärts und schreiben das Ergebnis unter die Ziffer 3 des kleineren Faktors.

Dann multiplizieren wir die Ziffern der größeren Zahl mit der zweiten Zahl des kleineren Faktors (348×2). Wir schreiben dieses Ergebnis unter die Ziffer 2 des kleineren Faktors. Nachdem wir beide Produkte berechnet haben, fügen wir ein Pluszeichen hinzu, unterstreichen sie und addieren beide Ergebnisse.

Schriftliche Multiplikation

Die schriftliche Multiplikation hilft uns auch größere Zahlen berechnen zu können.

Um die Berechnung zu beginnen, schreiben wir den größeren Faktor zuerst (im Beispiel 348 > 3) und den kleineren Faktor an die zweite Stelle (Beispiel 348×3). Danach unterstreichen wir beide Faktoren. Wir beginnen die Berechnung von hinten und multiplizieren zuerst mit der kleineren Zahl die Einer der größeren Zahl, dann die Zehner, dann die Hunderter usw. In unserem Fall multiplizieren wir zuerst 8×3, was 24 ist. Unter den zweiten Faktor schreiben wir nur 4 als letzte Ziffer aus der Zahl 24 und erinnern uns an den Rest (2) bei der nächsten Multiplikation. Als nächstes berechnen wir 4×3 und addieren den Rest 2 aus unserer vorherigen Berechnung zum Ergebnis (4×3+2=14). Wir nehmen wieder nur die letzte Ziffer 4 und merken uns den Rest (1). Anschließend berechnen wir 3×3 gleich 9 und addieren unseren Rest von 1, so dass wir 10 erhalten. An der Tausenderstelle befinden sich keine Ziffern mehr, daher schreiben wir an den Anfang des Ergebnisses die Zahl 10.

Multiplikation mit einer zweistelligen Zahl

Beim Multiplizieren mit einer zweistelligen Zahl wählen wir das gleiche Verfahren wie bei der Verwendung eines einstelligen Faktors. Wir schreiben die Zahlen so, dass sie mit dem größeren Faktor beginnen (348×32). Dann multiplizieren wir zunächst alle 3 Ziffern der größeren Zahl mit der ersten Ziffer des kleineren Faktors (348×3). Wie im vorherigen Beispiel beginnen wir rückwärts und schreiben das Ergebnis unter die Ziffer 3 des kleineren Faktors.

Dann multiplizieren wir die Ziffern der größeren Zahl mit der zweiten Zahl des kleineren Faktors (348×2). Wir schreiben dieses Ergebnis unter die Ziffer 2 des kleineren Faktors. Nachdem wir beide Produkte berechnet haben, fügen wir ein Pluszeichen hinzu, unterstreichen sie und addieren beide Ergebnisse.

Schriftliche Multiplikation

Die schriftliche Multiplikation hilft uns auch größere Zahlen berechnen zu können.

Um die Berechnung zu beginnen, schreiben wir den größeren Faktor zuerst (im Beispiel 348 > 3) und den kleineren Faktor an die zweite Stelle (Beispiel 348×3). Danach unterstreichen wir beide Faktoren. Wir beginnen die Berechnung von hinten und multiplizieren zuerst mit der kleineren Zahl die Einer der größeren Zahl, dann die Zehner, dann die Hunderter usw. In unserem Fall multiplizieren wir zuerst 8×3, was 24 ist. Unter den zweiten Faktor schreiben wir nur 4 als letzte Ziffer aus der Zahl 24 und erinnern uns an den Rest (2) bei der nächsten Multiplikation. Als nächstes berechnen wir 4×3 und addieren den Rest 2 aus unserer vorherigen Berechnung zum Ergebnis (4×3+2=14). Wir nehmen wieder nur die letzte Ziffer 4 und merken uns den Rest (1). Anschließend berechnen wir 3×3 gleich 9 und addieren unseren Rest von 1, so dass wir 10 erhalten. An der Tausenderstelle befinden sich keine Ziffern mehr, daher schreiben wir an den Anfang des Ergebnisses die Zahl 10.

Multiplikation mit einer zweistelligen Zahl

Beim Multiplizieren mit einer zweistelligen Zahl wählen wir das gleiche Verfahren wie bei der Verwendung eines einstelligen Faktors. Wir schreiben die Zahlen so, dass sie mit dem größeren Faktor beginnen (348×32). Dann multiplizieren wir zunächst alle 3 Ziffern der größeren Zahl mit der ersten Ziffer des kleineren Faktors (348×3). Wie im vorherigen Beispiel beginnen wir rückwärts und schreiben das Ergebnis unter die Ziffer 3 des kleineren Faktors.

Dann multiplizieren wir die Ziffern der größeren Zahl mit der zweiten Zahl des kleineren Faktors (348×2). Wir schreiben dieses Ergebnis unter die Ziffer 2 des kleineren Faktors. Nachdem wir beide Produkte berechnet haben, fügen wir ein Pluszeichen hinzu, unterstreichen sie und addieren beide Ergebnisse.