Bruchrechnung

Brüche

In der realen Welt gibt es nicht nur ganze Zahlen. Denn Brot kann z.B. in zwei Hälften und Pizza in acht Stücke geschnitten werden. Um diese Art von Zahlen zu beschreiben, verwenden wir Brüche. Sie sagen uns wie viele Teile eines Ganzen wir haben.

Brüche zeigen Teile ganzer Zahlen. Jeder Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner . Der Zähler ist die obere Ziffer, die angibt wie viele gleiche Teile der Bruch enthält. Der Nenner ist die untere Ziffer, die angibt in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt ist:

Es gibt viele Möglichkeiten, denselben Bruch zu schreiben. Auf dem Bild kannst du sehen, dass $1/2$, $2/4$, $3/6$ und $4/8$ denselben Wert darstellen. Auch wenn sich Zähler und Nenner der Brüche unterscheiden, zeigen die farbigen Teile der Kästchen immer dieselbe Hälfte des Ganzen.

Wir können Brüche auch als Zahlen auf einem Zahlenstrahl betrachten. Beispiel: um $ 1/8 $ auf der Zahlenstrahl darzustellen, zeichnen wir den Zahlenstrahl von 0 bis 1. Nun teilen wir die Lücke zwischen 0 und 1 in acht gleiche Teile (Nenner=8). Dies entspricht Brüchen von $ 1/8 $ bis $ 8/8 (= 1) $:

Brüche

In der realen Welt gibt es nicht nur ganze Zahlen. Denn Brot kann z.B. in zwei Hälften und Pizza in acht Stücke geschnitten werden. Um diese Art von Zahlen zu beschreiben, verwenden wir Brüche. Sie sagen uns wie viele Teile eines Ganzen wir haben.

Brüche zeigen Teile ganzer Zahlen. Jeder Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner . Der Zähler ist die obere Ziffer, die angibt wie viele gleiche Teile der Bruch enthält. Der Nenner ist die untere Ziffer, die angibt in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt ist:

Es gibt viele Möglichkeiten, denselben Bruch zu schreiben. Auf dem Bild kannst du sehen, dass $1/2$, $2/4$, $3/6$ und $4/8$ denselben Wert darstellen. Auch wenn sich Zähler und Nenner der Brüche unterscheiden, zeigen die farbigen Teile der Kästchen immer dieselbe Hälfte des Ganzen.

Wir können Brüche auch als Zahlen auf einem Zahlenstrahl betrachten. Beispiel: um $ 1/8 $ auf der Zahlenstrahl darzustellen, zeichnen wir den Zahlenstrahl von 0 bis 1. Nun teilen wir die Lücke zwischen 0 und 1 in acht gleiche Teile (Nenner=8). Dies entspricht Brüchen von $ 1/8 $ bis $ 8/8 (= 1) $:

Brüche

In der realen Welt gibt es nicht nur ganze Zahlen. Denn Brot kann z.B. in zwei Hälften und Pizza in acht Stücke geschnitten werden. Um diese Art von Zahlen zu beschreiben, verwenden wir Brüche. Sie sagen uns wie viele Teile eines Ganzen wir haben.

Brüche zeigen Teile ganzer Zahlen. Jeder Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner . Der Zähler ist die obere Ziffer, die angibt wie viele gleiche Teile der Bruch enthält. Der Nenner ist die untere Ziffer, die angibt in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt ist:

Es gibt viele Möglichkeiten, denselben Bruch zu schreiben. Auf dem Bild kannst du sehen, dass $1/2$, $2/4$, $3/6$ und $4/8$ denselben Wert darstellen. Auch wenn sich Zähler und Nenner der Brüche unterscheiden, zeigen die farbigen Teile der Kästchen immer dieselbe Hälfte des Ganzen.

Wir können Brüche auch als Zahlen auf einem Zahlenstrahl betrachten. Beispiel: um $ 1/8 $ auf der Zahlenstrahl darzustellen, zeichnen wir den Zahlenstrahl von 0 bis 1. Nun teilen wir die Lücke zwischen 0 und 1 in acht gleiche Teile (Nenner=8). Dies entspricht Brüchen von $ 1/8 $ bis $ 8/8 (= 1) $:

Brüche

In der realen Welt gibt es nicht nur ganze Zahlen. Denn Brot kann z.B. in zwei Hälften und Pizza in acht Stücke geschnitten werden. Um diese Art von Zahlen zu beschreiben, verwenden wir Brüche. Sie sagen uns wie viele Teile eines Ganzen wir haben.

Brüche zeigen Teile ganzer Zahlen. Jeder Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner . Der Zähler ist die obere Ziffer, die angibt wie viele gleiche Teile der Bruch enthält. Der Nenner ist die untere Ziffer, die angibt in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt ist:

Es gibt viele Möglichkeiten, denselben Bruch zu schreiben. Auf dem Bild kannst du sehen, dass $1/2$, $2/4$, $3/6$ und $4/8$ denselben Wert darstellen. Auch wenn sich Zähler und Nenner der Brüche unterscheiden, zeigen die farbigen Teile der Kästchen immer dieselbe Hälfte des Ganzen.

Wir können Brüche auch als Zahlen auf einem Zahlenstrahl betrachten. Beispiel: um $ 1/8 $ auf der Zahlenstrahl darzustellen, zeichnen wir den Zahlenstrahl von 0 bis 1. Nun teilen wir die Lücke zwischen 0 und 1 in acht gleiche Teile (Nenner=8). Dies entspricht Brüchen von $ 1/8 $ bis $ 8/8 (= 1) $:

Brüche

In der realen Welt gibt es nicht nur ganze Zahlen. Denn Brot kann z.B. in zwei Hälften und Pizza in acht Stücke geschnitten werden. Um diese Art von Zahlen zu beschreiben, verwenden wir Brüche. Sie sagen uns wie viele Teile eines Ganzen wir haben.

Brüche zeigen Teile ganzer Zahlen. Jeder Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner . Der Zähler ist die obere Ziffer, die angibt wie viele gleiche Teile der Bruch enthält. Der Nenner ist die untere Ziffer, die angibt in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt ist:

Um herauszufinden, welcher Bruchteil zu 1 Ganzen fehlt, schauen wir uns an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Ein Ganzes bedeutet, dass alle Teile ausgefüllt sind. Wenn das Ganze also in $4$ gleich große Teile geteilt ist, entspricht das Ganze $4/4$ (vier Viertel). Sind $3/4$ ausgemalt, dann fehlt $1/4$. Der Nenner bleibt gleich; wir müssen nur herausfinden, wie viele Teile noch fehlen.

Denselben Bruch kann man auf viele verschiedene Arten schreiben. Auf dem Bild siehst du, dass $1/2$, $2/4$, $3/6$ und $4/8$ alle die gleiche Menge darstellen. Obwohl Zähler und Nenner unterschiedlich sind, zeigen die eingefärbten Teile der Kästchen immer dieselbe Hälfte des Ganzen. Um ein Ganzes zu erhalten, brauchen wir die andere Hälfte, die ebenfalls $1/2$ ist.

Brüche vergleichen

Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen. Um den größeren Bruch zu finden, müssen Sie den Bruch finden, der einen größeren Teil des Ganzen enthält.

Wenn Brüche denselben Nenner haben, können wir Zähler vergleichen:

Wir können diese Brüche auch als Zeichnung visualisieren:

Wenn es einen gemeinsamen Zähler gibt, ist der Bruch mit dem größeren Nenner tatsächlich kleiner:

Auch diese Brüche können wir zeichnen:

Wenn zwei Brüche keinen gemeinsamen Zähler oder Nenner haben, können wir äquivalente/gleichwertige Brüche mit demselben Nenner finden.

Beispiel:
Vergleiche $ 3/8 $ und $ 1/3 $:

Wenn wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl vergleichen, können wir die ganze Zahl in einen Bruch mit demselben Nenner umwandeln:

Vergleiche 3 und $9/4$:

Brüche vergleichen

Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen. Um den größeren Bruch zu finden, müssen Sie den Bruch finden, der einen größeren Teil des Ganzen enthält.

Wenn Brüche denselben Nenner haben, können wir Zähler vergleichen:

Wir können diese Brüche auch als Zeichnung visualisieren:

Wenn es einen gemeinsamen Zähler gibt, ist der Bruch mit dem größeren Nenner tatsächlich kleiner:

Auch diese Brüche können wir zeichnen:

Wenn zwei Brüche keinen gemeinsamen Zähler oder Nenner haben, können wir äquivalente/gleichwertige Brüche mit demselben Nenner finden.

Beispiel:
Vergleiche $ 3/8 $ und $ 1/3 $:

Wenn wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl vergleichen, können wir die ganze Zahl in einen Bruch mit demselben Nenner umwandeln:

Vergleiche 3 und $9/4$:

Vergleichen von Brüchen und ganzen Zahlen

Wenn wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl vergleichen, können wir die ganze Zahl in einen Bruch mit demselben Nenner umwandeln:

Vergleiche 3 und $9/4$:

Äquivalente Brüche

Äquivalente/gleichwertige Brüche haben den gleichen Wert, obwohl sie unterschiedlich aussehen.

Zum Beispiel: $;2/4=1/2 $
Gezeichnet sieht das so aus:

Wenn wir den Zähler (die obere Zahl) und den Nenner (die untere Zahl) eines Bruchs mit einem anderen Bruch mit demselben Zähler oder Nenner multiplizieren oder dividieren, bleibt der gleiche Wert erhalten. Ein Bruch mit demselben Zähler und Nenner ist tatsächlich gleich 1 und durch multiplizieren oder dividieren mit 1 wird der Wert des ursprünglichen Bruchs nicht geändert.

Beispiel:

Wenn in einer Gleichung ein Teil eines Bruchs fehlt (x), müssen wir den äquivalenten Bruch finden:

Wir müssen 1 mit 2 multiplizieren, um 2 zu erhalten. Dann müssen wir dasselbe mit dem Nenner tun d.h. 3×2=6

Wenn in einer Ungleichung ein Teil eines Bruchs fehlt, müssen wir zuerst den äquivalenten Bruch finden und ihn dann erweitern bzw. kürzen. Zum Beispiel:

Da $ 3/8 $ $ 6/16 $ entsprechen, müssen wir einen Bruch finden, der 6 als Zähler (obere Zahl) hat und gleichzeitig kleiner als $ 6/16 $ ist. Dies ist ein beliebiger Bruch mit einem Nenner größer als 16, z. B. $ 6/17; 6/18; 6/19 $

Bruchteile von ganzen Zahlen

Um einen Bruch einer ganzen Zahl zu finden (z.B. $3/4$ von 12), multiplizieren wir den Zähler (3) mit der gegebenen ganzen Zahl (12) und teilen dann das Produkt (36) durch den Nenner (4) .

Addieren von Brüchen mithilfe eines Bildes

Wenn wir Brüche addieren, hilft uns ein Bild dabei zu erkennen, aus wie vielen gleich großen Teilen ein Ganzes besteht. Der Nenner zeigt uns, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Der Zähler zeigt uns, wie viele dieser Teile wir haben.

Wenn Brüche den gleichen Nenner haben, addieren wir nur die Zähler. Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen wir sie zuerst so umschreiben, dass sie aus gleich großen Teilen bestehen.

Brüche mit gleichem Nenner

Schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$1/10 + 3/10 = 4/10$

Das Ganze ist in 10 gleich große Teile geteilt. Zuerst haben wir 1/10, also ein Kästchen. Dann addieren wir 3/10, also drei weitere Kästchen. Insgesamt haben wir 4/10.

Orange zeigt den ersten Bruch und Grün den zweiten Bruch.

Da beide Brüche in Zehntel unterteilt sind, können wir sie direkt addieren:

$1 + 3 = 4$, also $1/10 + 3/10 = 4/10$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Nun versuchen wir dieses Beispiel:

$1/3 + 2/9$

Hier können wir die Brüche nicht sofort addieren, weil sie unterschiedliche Nenner haben. Der erste Bruch ist in Dritteln angegeben, der zweite in Neunteln.

Wir können die Aufgabe aber zeichnen, wenn wir 9 Kästchen verwenden. Dann entspricht ein Drittel 3 Kästchen (der ersten orangefarbenen Reihe). Dazu addieren wir zwei Neuntel in Grün. Das ganze Quadrat ist in 9 gleich große Teile geteilt. Insgesamt erhalten wir 5/9.

Bei solchen Bildern kannst du dir immer vorstellen, dass du die gefärbten Kästchen zusammenzählst. Das Bild zeigt dir, wie viele gleich große Teile du bereits hast und wie viele es nach dem Addieren insgesamt sind.

Hinweis zu einer ähnlichen Aufgabe

Die gleiche Idee können wir auch bei diesem Beispiel verwenden:

$4/9 + ? = 2/3$

Zuerst färben wir 2/3 ein, also zwei Reihen, und sehen, dass das tatsächlich 6/9 entspricht.

Da wir den Bruch suchen, der zu $4/9$ addiert werden muss, färben wir 4 Kästchen grün um. Die 2/9, die rot bleiben, sind der gesuchte fehlende Bruch.

Addition und Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche

Wenn die Nenner (die unteren Zahlen) gleich sind, müssen wir nur die Zähler (die oberen Zahlen) addieren oder subtrahieren. Der Nenner bleibt dabei unverändert.

Ungleichnamige Brüche

Wenn die Nenner (die unteren Zahlen) unterschiedlich sind, müssen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

Schritt 1: Erweitere die Brüche um denselben Nenner (durch Multiplikation):

Schritt 2: Addiere oder subtrahiere die Zähler (die oberen Zahlen) und schreibe das Ergebnis über den Hauptnenner (die untere Zahl).

Manchmal ist es besser die Brüche zu dividieren (kürzen):

In einigen Fällen muss man beide Brüche multiplizieren oder dividieren:

Wenn Brüche und ganze Zahlen addiert/subtrahiert werden, kannst Du die ganze Zahl in einen Bruch mit demselben Nenner umwandeln.

Addition und Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche

Wenn die Nenner (die unteren Zahlen) gleich sind, müssen wir nur die Zähler (die oberen Zahlen) addieren oder subtrahieren. Der Nenner bleibt dabei unverändert.

Ungleichnamige Brüche

Wenn die Nenner (die unteren Zahlen) unterschiedlich sind, müssen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

Schritt 1: Erweitere die Brüche um denselben Nenner (durch Multiplikation):

Schritt 2: Addiere oder subtrahiere die Zähler (die oberen Zahlen) und schreibe das Ergebnis über den Hauptnenner (die untere Zahl).

Manchmal ist es besser die Brüche zu dividieren (kürzen):

In einigen Fällen muss man beide Brüche multiplizieren oder dividieren:

Wenn Brüche und ganze Zahlen addiert/subtrahiert werden, kannst Du die ganze Zahl in einen Bruch mit demselben Nenner umwandeln.

Gemischte Zahlen

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (obere Zahl) kleiner als der Nenner (untere Zahl) ist, z. B. $ 1/3 ;; ; 3/4 ;; ; 5/7 ;; ; 6/7 $. Dieser Bruch ist immer kleiner als 1.

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer (oder gleich) dem Nenner ist, z. B. $ 7/6 ;; ; 8/4 ;; ; 3/3 ;; ; 8/7 ;; ; 34/9 $. Es ist immer größer oder gleich 1.

Eine gemischte Zahl ist eine Kombination einer ganzen Zahl und einer Bruchzahl. Somit ist sie immer größer als 1.

Jeder unechte Bruch kann auch als gemischte Zahl ausgedrückt werden.

So konvertieren wir einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl:

Um $15/7$ in eine gemischte Zahl umzuwandeln, müssen wir herausfinden wie oft 7 in 15 passen kann. Dazu teilen wir den Zähler durch den Nenner:
$ 15 ÷ 7=2 $ mit Rest 1 ($ 15=2 × 7 + 1 $).
2 wird als ganze Zahl der gemischten Zahlen verwendet und 1 ist der Zähler über dem Nenner.

So konvertieren wir eine gemischte Zahl in einen Bruch:

Wir multiplizieren die ganze Zahl mit dem Nenner:

Addieren 20 zum Zähler: Und schreiben 23 über den Nenner

Eine gemischte Zahl kann auch wie folgt geschrieben werden: 1⁵⁄₈ ; 3³⁄₄.

Brüche dividieren

Um zwei Brüche zu dividieren, benutzen wir den Kehrwert des zweiten Bruchs (wir tauschen Zähler und Nenner) und multiplizieren diese Brüche.

Wir können den resultierenden Bruch vereinfachen oder in eine gemischte Zahl umwandeln:

Brüche durch eine ganze Zahl dividieren

Wir schreiben die ganze Zahl als Bruch um (d.h. wir setzen die ganze Zahl über den Nenner von 1):

Doppelbrüche

Im Allgemeinen wird ein Doppelbruch aus zwei übereinander liegenden Brüchen gebildet (der Zähler, der Nenner oder beide enthalten einen Bruch).

Um dies in einen einfachen Bruch umzuwandeln, schreiben wir den Doppelbruch als Division von zwei Brüchen:

Wir können dann den oberen Zähler einfach mit dem unteren Nenner und den oberen Nenner mit dem unteren Zähler multiplizieren:

Wenn nur der Zähler oder der Nenner einen Bruch enthält, schreiben wir den anderen als Bruch um und dividieren oder multiplizieren dann:

Wie man eine Aufgabe mit einem Ganzen und einem seiner Teile löst

In dieser Aufgabe arbeiten wir mit einem Ganzen und einem Teil davon.

Wir haben die Gleichung:

$1/6 Y$ bedeutet ein Sechstel von Y. Wir können es auch als $1/6 × Y$ schreiben. Y ist eine Zahl, also das Ganze, das wir herausfinden möchten. Wir können es als einen ganzen Kreis darstellen und ihn in 6 gleich große Teile teilen. Ein Teil entspricht also $1/6$ des Ganzen.

1. Was wir bereits aus der Gleichung erkennen können

In der Gleichung haben wir:

Auf der linken Seite stehen ein Sechstel des Ganzen und außerdem 10. Zusammen ergeben sie das Ganze Y.

Das bedeutet, dass die Zahl 10 den restlichen Teil des Ganzen darstellen muss.

2. Wie groß der fehlende Teil ist

Wenn wir bereits 1/6 Y des Ganzen Y haben, fehlen noch $5/6$ des Ganzen Y:

Und laut der Gleichung ist dieser fehlende Teil gleich 10.

3. Wie viel ein Sechstel ist

Wenn gilt:

dann finden wir zuerst heraus, wie viel 1/6 Y ist. Fünf Sechstel haben den Wert 10, also erhalten wir ein Sechstel, indem wir durch fünf teilen:

Also ist $1/6$ des Ganzen Y gleich 2.

4. Wie groß das Ganze Y ist

Das Ganze besteht aus 6 Sechsteln. Wenn ein Sechstel 2 ist, dann ist das Ganze:

Kurze Probe

Setze den Wert wieder in die Gleichung ein:

Das stimmt, also ist das Ergebnis richtig.