Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Vrcholový tvar kvadratické funkce, souřadnice vrcholu

x2−4x+5=(x−2)2+1

Kvadratická funkce

Kvadratická funkce je funkce, která se dá zapsat ve tvaru $y=ax^2+ bx+c$ .
Např.:

$$y=5x^2−4x−12 = 0$$
Zde a = 5, b = −4 a c = −12

První člen funkce (a) se označuje jako kvadratický a musí být nenulový, druhý se nazývá lineární (b) a třetí absolutní (c).

Členy b, c mohou být 1 nebo 0. Např. $ y= 4x^2 − 16 = 0 $ nebo $ y= x^2 + 10x$ jsou stále kvadratické rovnice.

Grafem kvadratické funkce je vždy parabola (pro srovnání, grafem každé lineární funkce, kterou můžeme vždy zapsat ve tvaru y=ax+b je přímka). Kvadratický člen a určuje, jak prudce bude funkce růst do stran (čím je absolutní hodnota a vyšší, tím je funkce strmější, čím je nižší, tím je širší). Pokud je a kladné, funkce je konvexní (má tvar písmena U obráceného nahoru, pokud záporné, funkce je konkávní (U je otočené dolů). Kvadratická funkce ve tvaru $ax^2$, kde b, c jsou nulové (např. $y=x^2$), se nazývá ryze kvadratická funkce.

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=3xy=xy=2221x2y=(−1)x2

Lineární člen b má vliv na pozici funkce a člen c určuje, ve kterém bodě funkce protne osu y (protože pokud za x dosadíme 0, z funkce $y=ax^2+bx+c$ zůstane y=c). Obrázek dole ukazuje funkce s různými hodnotami a, b a c.

xy-5-4-3-2-1 13412354-1-2-3-42y=x +4x+1y=xy=2523x2y=(−3)x +6x−42−1

Pokud chceme určit, ve kterém bodě protíná kvadratická funkce osu x, dosadíme za y nulu a získáme kvadratickou rovnici ($ax^2 + bx + c = 0$). Může mít dvě řešení (modrá, zelená funkce), jedno (růžová), nebo také žádné (červená).

Každá parabola má jeden svůj vrchol, bod, ve kterém se z klesající funkce mění na rostoucí nebo opačně. Určení souřadnic vrcholu můžeme získat převedením funkce na vrcholový tvar, který je $y=a(x−h)+k$ kde h, k jsou souřadnice vrcholu paraboly. Provedeme to doplněním na čtverec - využitím vzorce $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ nebo $(a−b)^2=a^2−2ab+b^2$.

Např. u funkce $x^2+4x+1$ (modrá) budeme pokládat $x^2+4x$ za $a^2+2ab$ a musíme z 2ab dopočíst b, pak doplnit $b^2$ (a zároveň ho odečíst), takže přepis funkce na vrcholový tvar bude vypadat následovně:

$$x^2+4x+1=$$
$$x^2+4x+4−4+1=(x+2)^2+3$$

Když $y=(x+2)^2−3$ srovnáme s $y=a(x−h)+k$, tak souřadnice vrcholu [h; k] můžeme určit jako [−2;−3].

Jiný příklad:

$$y=2x^2−12x−1$$
$$2x^2−12x−1=2(x^2−6x)−1=$$
$$=2(x^2−6x+9−9)−1=$$
$$2(x^2−6x+9)−18−1=$$
$$=2(x^2−3)^2−19\;→\;[h;k]=[3;−19]$$

Jinou možností je použít vzorec. Souřadnice vrcholu V[h ; k] vypočítáme jako:

$$V[{−b}/{2a};c−b^2/{4a}]$$

Např.

$$y=x^2+4x+1$$
$$[h;k]= [{−b}/{2a};c−b^2/{4a}]=$$
$$[{−4}/2\;;\;1−4^2/4]=[−2;−3]$$

Hodnotu k (ypsilonovou souřadnici vrcholu) můžeme také vypočíst jako:

$$h={−b}/{2a}; k=f(h)$$

Např.

$$y=x^2+4x+1$$
$$[h;k]= [{−b}/{2a};f(h)]=[−2; (−2)^2+4×(−2)+1]=[−2;−3]$$

Vlastnosti kvadratické funkce

Kvadratická funkce není funkce prostá (hodnota y je přiřazená dvěma hodnotám x, kromě vrcholu). Definičním oborem (množinou všech x) jsou všechna reálná čísla, obor hodnot (množina y) závisí na parametrech funkce, ale vždy jde od vrcholu do nekonečna směrem ke kladné části nebo záporné části osy y.

Pokud a < 0, obor hodnot je (− ∞; ypsilonová souřadnice vrcholu⟩, pokud a > 0, je to ⟨ ypsilonová souřadnice vrcholu; ∞).

Kvadratická funkce je sudá (symetrická podle osy y), pokud je lineární člen (b) nulový.


   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify