Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Rovnice lineární funkce

Graf lineární funkce má sklon 1/3 a osu y protíná v bodu 3. f(x)=?

Určení předpisu lineární funkce z grafu

Grafem každé lineární funkce je přímka (linie = čára). Existuje několik způsobů, jako zapsat rovnici přímky. Zápis zvaný směrnicový tvar rovnice přímky je zároveň totožný s předpisem funkce.

$$y = kx + q$$
nebo
$$f(y) = kx + q$$

Parametry k i q jsou reálná čísla. Parametr k je tangens směrového úhlu přímky (taktéž směrnice). Dokážeme ho určit jako poměr Δ y/Δ x.

Směrnice k udává přírůstek funkce na ose y pro přírůstek x rovný 1. k je vlastně rovna tangentě úhlu, který svírá přímka funkce s kladnou poloosou x.

Dole vidíme 3 přímky s různou směrnicí, fialová má směrnici rovnou 1, modrá −3 a zelená 0.5 .

xy-5-4-3-23412354-2-3-42-1 1}-1

Abychom proto dokázali přímku funkce přesně umístit do soustavy souřadnic, potřebujeme parametr q. Ten udává přesný bod, ve kterém přímka protíná osu y. Pro funkce procházející počátkem souřadnicové soustavy (bodem 0; 0) je tedy q nulové.

V případě horního obrázku budou tedy předpisy/rovnice přímky vypadat následovně:

Fialová:

$$y = 1x + 0 → y = x$$

Modrá:

$$y = −3x + 0 → y = −3x$$

Zelená:

$$y = 0.5x + 0 → y = 0.5x$$

Pokud funkce neprocházejí počátkem souřadnicoví soustavy, musíme zjistit souřadnici přímky y a vložit ji do rovnice přímky jako q (všimněte si, ze rovnoběžné přímky mají vždy stejnou směrnici: k=0.5)

xy-4-3-2341354-2-3-42-1 1-1-52

Takže fialová přímka:

$$y=0.5x + 2$$

Zelená přímka:

$$y=0.5x + 0 = 0.5x$$

Modrá přímka:

$$y=0.5x − 1.5$$

Pokud je přímka rovnoběžná s osou y, má směrnici rovnou 0, např.:

xy-4-3-2341354-2-3-42-1 1-1-52

Jedna přímka (zelená) znázorňuje graf funkce y = 0x + 2 = 2 a druhá (fialová) y = 0x – 3 = −3

Jestliže nedokážeme z grafu určit, jaká je směrnice nebo kde přesně se přímka protíná s osou y, můžeme si to dopočítat, stačí nám zjistit souřadnice dvou bodů na přímce.

xy-4-3-2341354-2-3-42-1 1-1-524;32;−2AB

Např. u fialové přímky určíme dva body, kterými prochází, a to [4; 3] a [2; −2]. Směrnici k dokážeme určit jako Δ y/Δ x. Přímka funkce totiž odpovídá přeponě pravoúhlého trojúhelníku a tangens vypočítáme jako podíl velikosti protilehlé odvěsny ku přilehlé:

$$k = {Δy}/{Δ x} = {3 − (−2)} /{ 4 – 2} = 5/2 = 2.5$$
Rovnice přímky / předpis funkce bude tedy vypadat následovně:

$$y = 2.5x + q$$

Abychom určili q, dosadíme jeden z bodů funkce do předpisu, např. [4; 3]

$$3 = 2.5 × 4 + q$$
$$3 = 10 + q$$
$$q = −7$$

Předpis funkce/rovnice přímky bude tedy vypadat takto:

$$y = 2.5x − 7$$

   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify