Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Objem a povrch koule, kužele a válce

Koule

Koule je dokonale kulaté těleso, jehož každý bod na povrchu je stejně vzdálený od jeho středu. Poloměr (r) koule je vzdálenost od středu koule (C) k libovolnému bodu na povrchu tohoto tělesa. Objem a povrch koule vypočítáme pomocí těchto vzorců:

Cr
$$ S = 4πr ^ 2 $$

Ze vzorce vyplývá, že povrch koule se ve skutečnosti rovná obsahu čtyř kruhů stejného poloměru.

$$ V = 4/3 πr^3 $$

Ze všech existujících těles má koule nejmenší povrch pro daný objem.

Válec

Válec je těleso, které má dvě rovnoběžné (kruhové nebo oblé), stejně orientované základny spojené pláštěm.

rrsshh21

Výška (v nebo h, z angl. height) válce je kolmá vzdálenost mezi jeho základnami.

Je-li podstavou kruh, pak válec nazýváme kruhový.

Válec může být kolmý nebo šikmý. Kolmý válec má základny umístěné přesně jednu nad druhou. V šikmém válci zůstávají základny navzájem rovnoběžné a stejného tvaru, ale strany se nakloní pod úhlem, který není 90°. Pokud mají kolmý a šikmý válec stejnou výšku a základnu, budou mít i stejný objem.

$$ V = S_Z×h = πr ^ 2h $$

SZ je obsah zákldny. Povrch válce je součtem dvou obsahů základen a obsahu pláště. Abychom mohli vypočítat obsah pláště, musíme znát délku strany. Pouze u pravého válce se délka strany rovná výšce (a=s1). U šikmého kruhového válce je to s2.

$$S = 2×S_Z + s × 2πr = 2πr^2 + 2πrs$$

Kužel

Kužel je těleso, které vznikne spojením oblé základny s bodem nad ní (vrcholem). Může to být rotační (vrchol je přesně nad středem základny) nebo šikmý (vrchol není nad středem). Základna může být kruh, elipsa nebo jiný útvar, jehož strany jsou oblé (místo stran mají křivky).

rhsV

Kužel úzce souvisí s jehlanem a vzorce pro jejich objem jsou podobné (objem jehlanu je jedna třetina hranolu se stejnou šířkou, délkou a výškou a kužel je třetina válce se stejnou základnou a výškou). Pro objem platí (SZ je obsah základny):

$$ V = 1/3 ×S_Z × h $$

Rotační kužel je kužel, kde výška spuštěná z vrcholu protíná kruhovou základnu uprostřed. Je to kužel, který vznikl otáčením pravoúhlého trojúhelníku okolo jedné z odvěsen. Pro tento typ kužele definujeme poloměr pláště s – je to vzdálenost vrcholu kužele k okraji základny.

Celková povrchová plocha kužele je součtem obsahu jeho základny SZ a obsahu pláště SP. Obsah pláště rotačního kuželu lze vypočítat jako:

$$S_P= 1/2 × 2πr × s$$

Celkový povrch rotačního kužele je:

$$A=S_Z + S_P=πr^2+1/2×2πr×s =πr^2+πrs $$

   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify