Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Rozložení na součin (těžké)

8x2+30x+25= 8x2+10x+20x+25= 2x(4x+5)+5(4x+5)= (2x+5)(4x+5)

Rozklad mnohočlenu na součin

Rozklad polynomu druhého stupně na součin je proces hledání jeho dělitelů, jejichž vynásobením získáme původní mnohočlen. V případě, že je mnohočlen polynom druhého stupně (kvadratická funkce, polynom ve tvaru: $ ax^2 + bx + c$), vypadá to takto:

$$ ax^2 +bx + c = (ex + f)(gx + h) $$

Čísla a, b, c nazýváme koeficienty, x je proměnná, f a h se nazývají kořenové činitele.

Polynom, kde a = 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde $ a = 1 (např. x^2 + 7x + 6) $ musíme najít 2 čísla (kořenové činitele f, h), jejichž vynásobením získáme c , a pokud se sečtou, dostaneme b .
V $x^2+ x + 6 $, c je 6. Číslo 6 má následující dvojice dělitelů: 2 × 3; 6 × 1. Pouze součet 6 a 1 se rovná b (7). Takže naše f a h jsou 6 a 1.

$$ x^2 + 7x + 6 = (x + 6) (x + 1) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x + 6) (x + 1) = x^2 + x + 6x + 6 = x^2 + 7x + 6 $$

Situace je trochu odlišná, pokud jsou některé z koeficientů záporná čísla:

$$ x^2 − 6x + 8 $$

8 je kladné číslo, takže pro jeho dvojice dělitelů budou vždy buď obě čísla kladná (+), nebo obě záporná (−): 2 × 4; (−2) × (−4); 1 × 8; (−1) × (−8)

Pokud je další koeficient záporný (−6), musíme použít součet záporných čísel, abychom měli šanci dostat se pod nulu, např. (−6) = (−2) + (−4). Takže naše f a h jsou: −2 a −4:

$$ x^2 − 6x + 8 = (x − 2) (x − 4) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x − 2)(x − 4) = x^2 − 4x − 2x + 8 = $$
$$ x^2 − 6x + 8 $$

Polynom, kde a ≠ 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde ≠ 1 (např. $2x^2 + 13x + 6 $) musíme najít 2 čísla, jejichž vynásobením získáme a × c a která jsou v součtu rovna b .

$$ 2x^2 + 13x + 6 $$
$$ a × c = 2 × 6 = 12 $$

Najdeme dvojice dělitelů pro 12: 2 × 6; 3 × 4; 12 × 1


Z nich vybereme tu, která v součtu dává b (13), což je ta poslední:
$$b = 13 = 12 + 1$$

Nyní rozdělíme prostřední koeficient b podle získané dvojice čísel (někdy musíme udělat dva pokusy, abychom zjistili, který ze dvou středních členů by měl jít jako první):


$$ 2x^2 + 12x + x + 6 = 2x (x + 6) + (x + 6) = $$
$$ = (x + 6) (2x + 1) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x + 6) (2x + 1) = 2x^2 + x + 12x + 6 $$

Příklad se zápornými koeficienty:

$$ 3x^2 + 10x − 8 $$
$$ a × c = 3 × (−8) = (−24) $$

Najdeme dvojice dělitelů pro (−24): (−24) × 1; (−1) × 24; (−3) × 8; 8 × (−3); 12 × (−2); ...
Zjistíme, která z nich je v součtu rovna b (10): 10 = 12 + (−2)
Rozdělíme koeficient b:

$$ 3x^2 + 10x − 8 = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x(x + 4) −2(x + 4) = (3x − 2) (x + 4) $$

Zkouška správnosti:

$$ (3x − 2) (x + 4) = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x^2 + 10x − 8 $$

   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify