Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Výpočet rychlosti, času a vzdálenosti (lehké)

Slovní úlohy na pohyb

Pro výpočet rychlosti, dráhy a času pohybujícího se tělesa platí:

$$v=s/t$$

Veličina v je rychlost (velocity), s je dráha (displacement) a t je čas (time). Rychlost se také udává v jednotkách km/h nebo m/s, kde čitatel vždy reprezentuje vzdálenost a jmenovatel čas. Z výše uvedeného vzorce si můžeme odvodit:

$$s=v×t$$

$$t=s/v$$

Používáme přitom průměrnou rychlost, kterou určíme jako součet celé dráhy vydělen celkovým časem:

$$v={s_1+s_2+…+s_n}/{t_1+t_2+…+t_n}$$

Např. pokud Jan urazil vzdálenost 5 km za 10 minut a pak dalších 15 km za 20 min, můžeme z toho odvodit, že jeho rychlost v prvním úseku byla:

$$5/10=0.5;km/min;→;$$

$$0.5×60=30 ;km/h$$

0.5 km za minutu musíme vynásobit 60, abychom dostali vzdálenost za hodinu.

Ve druhém úseku Jan jel rychlostí:

$$15/20=3/4 ;km/min;→;$$

$$3/4×60=45 ;km/h$$

Průměrnou rychlost vypočítáme v km/h jako:

$${5+15}/{10+20}=20/30=2/3;km/min;→;$$

$$2/3×60=40;km/h$$

Je důležité sledovat jednotky času, protože čas se může udávat v minutách, ale rychlost v km/h.

Např. Kolik ujede auto po dálnici rychlostí 120 km/h za 10 min? Jako první musíme stanovit, že 10 min je 1/6 z hodiny:

$$s=v×t=120×1/6=20; km$$

Auto ujede za 10 min 20 km.

Výpočet rychlosti, dráhy a času u vícero pohybujících se těles

Příklady s více tělesy vychází z výše zmíněných vzorců, které je potřeba dát do rovnosti dle zadání úlohy. Skoro vždy existuje vícero možností, jak se dopočítat výsledku.

Příklady:

Do tunelu dlouhého 4 km ve stejnou chvíli z opačných stran vjel Robert autem rychlostí 40 km/h a Jana 60 km/h. Za kolik minut se minou?

Z veličin s, v, t musíme najít tu, která bude pro oba stejná. Protože vjeli do tunelu ve stejnou chvíli, jejich čas strávený v tunelu bude v okamžiku potkání také stejný. A zároveň součet jejich ujetých vzdáleností bude rovný délce tunelu. To jsou dvě rovnosti, které nám pomohou vypočítat výsledek.

$$s=s_R+s_J=v_R×t+v_J×t$$

$$4=40×t+60×t$$

$$4=100t$$

$$t=0.04;h$$

$$t=0.04×60=2.4; min$$

Výsledek je 2.4 min, což je 2 min 24 s.

Pokud do příkladu vstoupí časové posuny, je potřeba je zohlednit. Např. Anna vyjela na mopedu z domu v 9:00, v 9:10 vyjel v autě její bratr Petr rychlostí 60 km/h a potkal ji za 20 minut. Jak rychle jela Anna?

Opět můžeme určit veličinu, která je stejná a tou je vzdálenost s (oba ujeli stejnou trasu).

$$s= v×t$$

$$s_A=s_P$$

$$v_A×t_A=v_P×t_P$$

Petr jel 20 minut, což je $1/3$ hodiny. Víme, že Anna jela na mopedu celkový čas o 10 minut delší než Petr, tedy t_A=10+20 min=30 min = 0.5 h

$$v_A×0.5=60×1/3$$

$$v_A × 0.5=20$$

$$v_A=20÷0.5=40 ;km/h$$

Průměrná rychlost Anny byla 40 km/h.