Funkce

Graf funkce

Funkce vyjadřuje vztah mezi dvěma množinami: definičním oborem a oborem hodnot. Definiční obor D(f) je množina všech přípustných hodnot x, jejichž výstupem budou hodnoty y. Zapisujeme jako f(x) = y nebo f_x = y. Množina těchto y se nazývá obor hodnot. Každému x je přiřazeno právě jedno y (pokud by stejnému x bylo přiřazeno více y, nešlo by o funkci).

Několik různých x přitom může mít přiřazeno stejné y. Funkci můžeme vyjádřit také grafem. Na obrázku dole jsou růžové útvary grafy funkcí. Zelené útvary funkci představovat nemohou, protože aspoň jednomu x přiřazují více než jedno y (znázorněno např. přerušovanou čárou v bodě 3). Prázdné kolečko grafu znamená, že definiční obor začíná přesně za tímto bodem, ale daný hraniční bod vylučuje, plné kolečko zahrnuje do definičního oboru i daný bod. Definiční obor funkce s kolečky na obrázku je tedy:

D(f)=(−5;−1⟩

Určení předpisu lineární funkce z grafu

Grafem každé lineární funkce je přímka (linie = čára). Existuje několik způsobů, jako zapsat rovnici přímky. Zápis zvaný směrnicový tvar rovnice přímky je zároveň totožný s předpisem funkce.

nebo

Parametry a i b jsou reálná čísla. Parametr a je tangens směrového úhlu přímky (taktéž směrnice). Dokážeme ho určit jako poměr Δ y/Δ x.

Směrnice a udává přírůstek funkce na ose y pro přírůstek x rovný 1. k je vlastně rovna tangentě úhlu, který svírá přímka funkce s kladnou poloosou x.

Dole vidíme 3 přímky s různou směrnicí, fialová má směrnici rovnou 1, modrá −3 a zelená 0.5 .

Abychom proto dokázali přímku funkce přesně umístit do soustavy souřadnic, potřebujeme parametr b. Ten udává přesný bod, ve kterém přímka protíná osu y. Pro funkce procházející počátkem souřadnicové soustavy (bodem 0; 0) je tedy b nulové.

V případě horního obrázku budou tedy předpisy/rovnice přímky vypadat následovně:

Fialová:

Modrá:

Zelená:

Pokud funkce neprocházejí počátkem souřadnicoví soustavy, musíme zjistit souřadnici přímky y a vložit ji do rovnice přímky jako b (všimněte si, ze rovnoběžné přímky mají vždy stejnou směrnici: a=0.5)

Takže fialová přímka:

Zelená přímka:

Modrá přímka:

Pokud je přímka rovnoběžná s osou y, má směrnici rovnou 0, např.:

Jedna přímka (zelená) znázorňuje graf funkce $y = 0x + 2 = 2$ a druhá (fialová) $y = 0x – 3 = −3$

Jestliže nedokážeme z grafu určit, jaká je směrnice nebo kde přesně se přímka protíná s osou y, můžeme si to dopočítat, stačí nám zjistit souřadnice dvou bodů na přímce.

Např. u fialové přímky určíme dva body, kterými prochází, a to [4; 3] a [2; −2]. Směrnici k dokážeme určit jako Δ y/Δ x. Přímka funkce totiž odpovídá přeponě pravoúhlého trojúhelníku a tangens vypočítáme jako podíl velikosti protilehlé odvěsny ku přilehlé:

Rovnice přímky / předpis funkce bude tedy vypadat následovně:

Abychom určili b, dosadíme jeden z bodů funkce do předpisu, např. [4; 3]

Předpis funkce/rovnice přímky bude tedy vypadat takto: