Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Úhlové stupně a minuty

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Stupně a minuty

K měření úhlů se používají stupně a minuty. Plný oblouk kruhu má 360 stupňů. Stupeň je označen °, např. 360°.

Každý stupeň je rozdělen do 60 částí nazývaných minuty (oblouku), přičemž každá část je 1/60 stupně. Minuta je označena ', např. 1° = 60'.

Každá minuta je rozdělena na 60 částí, přičemž každá část má 1/60 minuty zvané sekundy (oblouku). Druhá je označena '', např. 1° = 60 × 60 = 3 600 sekund = 3600''.

Někdy je třeba převést míru úhlu, který je zapsán jako desetinné číslo, na stupně a minuty, např. 40.5 stupňů. To je 40° + 0.5 × 60' = 40° 30'

Oblouková míra (radiány)

Vedle měření úhlu ve stupních se používá také oblouková míra, která se určuje v radiánech (rad), kde 1 π rad odpovídá 180°. Obvod kruhu je 2π rad, což je ekvivalentní 360°. 1 radián je tudíž roven kolem $ 360/{2π}$, tj. 57.3 stupně.

Převod stupňů na radiány

$$ {α (°) × π}/{180°} = α (rad) $$
$$ 45° = {45° × π} /180° = π/4 rad $$

Převod radiánů na stupně

$$ απ (rad) = α × 180° $$
$$ 5/6 π rad = 5/6 × 180° = 360°/3 = 150° $$
360°=2π270°=3π/2180°= π90°=π/2


Převod stupňů na radiány (s pomocí π)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Oblouková míra (radiány)

Vedle měření úhlu ve stupních se používá také oblouková míra, která se určuje v radiánech (rad), kde 1 π rad odpovídá 180°. Obvod kruhu je 2π rad, což je ekvivalentní 360°. 1 radián je tudíž roven kolem $ 360/{2π}$, tj. 57.3 stupně.

Převod stupňů na radiány

$$ {α (°) × π} / {180°} = α (rad) $$
$$ 45° = {45° × π} / 180° = π / 4 rad $$

Převod radiánů na stupně

$$ απ (rad) = α × 180° $$
$$ 5/6 π rad = 5/6 × 180° = 360° / 3 = 150° $$
360°=2π270°=3π/2180°= π90°=π/2


Definice úhlů

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Druhy uhlů

Ostrý úhel je menší než 90° (zelený).
Pravý úhel je přesně 90° (modrý).
Tupý úhel je větší než 90° a menší než 180° (hnědý).

162°90°45°



Přímý úhel má přesně 180° (zelený) - jeho ramena jsou opačné polopřímky.
Nekonvexní úhel (dutý) je větší než 180° (modrý) - úhel, v němž existují alespoň dva body, jejichž spojnice nebude celá patřit tomuto úhlu.
Plný úhel má přesně 360° (hnědý) – jeho ramena leží na sobě a za úhel se pokládá celá rovina kolem nich.
360°225°180°

A nulový úhel se rovná přesně 0° - jeho ramena leží na sobě a neobsahuje žádné body uvnitř.

Všechny úhly kromě nekonvexního se pokládají za konvexní (pro kterékoliv jejich dva různé vnitřní body platí, že jejich spojnice bude ležet celá uvnitř úhlu.

Speciálním typem je dutý úhel, což je úhel, který je vždy menší než úhel přímý (180°). Vznikne jako průnik dvou polorovin.

A dalším typem je úhel kosý – úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný.



Odhadni velikost úhlu

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Velikost úhlů

Úhel je část roviny vymezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Můžeme ho zakreslit i jako část kruhu s počátkem ve středu kruhu. Plný úhel (kruh) má 360°. Polovina kruhu (přímý úhel) je 180°. Pravý úhel je čtvrtina kruhu, tedy 90°.

360°270°180° 90°


Úhly styčné, vedlejší a vrcholové

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Úhly styčné, vedlejší a vrcholové

Dva úhly jsou styčné, když mají společné rameno a společný vrchol a nepřekrývají se (na obrázku pod ním jsou γ a δ, δ a η, η a α atd.). Součet velikostí je menší než velikost plného úhlu (360°).

Vedlejší úhly je pár styčných úhlů vytvořených při průniku dvou různobězných přímek. Jejich součet se rovná 180° (přímý úhel). Na obrázku jsou to pouze α a β, β a γ).

αβγδη

Vrcholové úhly jsou úhly, jejichž vrcholy splývají a ramena jsou vzájemně opačné polopřímky. Vrcholové úhly mají stejnou velikost. Na obrázku jsou to pouze γ a α.

Dva úhly se nazývají doplňkové, pokud se jejich součet rovná 90° (pravý úhel).



Velikosti úhlů u tří přímek

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Dvojice úhlů

Dvě rovnoběžné přímky protnuté třetí různoběžnou přímkou tvoří speciální dvojice úhlů:

Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž jedna ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly mají stejnou velikost. Na obrázcích dole jsou úhly stejné barvy (zelené, modré) úhly střídavé. Také platí, že každý zelený a modrý úhel se společným ramenem a vrcholem jsou úhly vedlejší a jejich součet je 180 °.

Souhlasné úhly jsou úhly, jejichž první ramena jsou rovnoběžná a druhá leží na jedné přímce. Musí mít také stejnou orientaci. Souhlasné úhly mají stejnou velikost. Na obrázku dole jsou dvojice uhlů stejné barvy souhlasné.



Trojúhelníky a přímky

Zkopíruj odkaz na toto téma.


Úhly v mnohoúhelníku

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Úhly v mnohoúhelníku

Vnitřní úhly trojúhelníku se rovnají 180°. Vnitřní úhly čtyřúhelníků mají celkem 360°. S každým dalším vrcholem/stranou se součet vnitřních uhlů zvyšuje o 180°.

K výpočtu součtu vnitřních úhlů můžeme použít vzorec (n − 2) × 180°, kde n je počet stran. Nezáleží na tom, zda je mnohoúhelník pravidelný (tj. každý úhel má stejnou velikost), nebo ne.



Kruh-obvodové a středové úhly (lehké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Úhly v kružnici

Tětiva je úsečka, jejíž oba koncové body leží na kružnici (CD). Tětiva procházející středem O je ze všech nejdelší a nazývá se průměr kružnice.

Tečna je přímka, která se dotýká kružnice pouze v jednom bodě (A, B). Úhel, který svírá s poloměrem kruhu (úsečkou spojující střed O s daným bodem doteku), je vždy kolmý (90°). Z toho vyplývá, že přímku, která se dotýká kružnice a zároveň je kolmá na poloměr kruhu, považujeme za tečnu. Každým bodem kružnice prochází právě jedna tečna.

OABCD

Část kružnice mezi body A a B se nazývá oblouk AB. Obvodový úhel je úhel odpovídající určitému oblouku s vrcholem položeným na kružnici. Na obrázku dole je to úhel ∠ADB pro oblouk AB.

Středový úhel je úhel odpovídající určitému oblouku s vrcholem ve středu kruhu. V tomto případě je to úhel ∠AOB.

Platí, že velikost středového úhlu pro shodné oblouky je vždy dvojnásobkem velikosti obvodového úhlu:

αOABD
OBAαD

Také platí, že obvodové úhly pro daný oblouk mají vždy stejnou velikost. Na obrázcích dole jsou to všechny uhly označené křížkem.

OABDEF
OABDEF

Thaletova věta: Jakýkoli obvodový úhel vepsaný do půlkruhu (úsečka AB prochází středem a je průměrem kruhu) je pravý úhel.

OAB

Úhel mezi tečnou a tětivou (úsekový úhel ∠DAZ) procházející bodem doteku se rovná obvodovému úhlu přiléhajícímu k dané tečně (oblouku).

OADEFGZ

Úhly stejné barvy mají stejnou velikost.

OABC

Tětivový čtyřúhelník má každý vrchol na obvodu kružnice. Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je roven 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


Kruh-úhly u vepsaných čtyřúhelníků

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Čtyřúhelníky s opsanou kružnicí

Tětivový čtyřúhelník má každý vrchol na obvodu kružnice. Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku se rovná 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


Kruh-úhly u tečen, sečen a trojúhelníků

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Úhly v kružnici

Tětiva je úsečka, jejíž oba koncové body leží na kružnici (CD). Tětiva procházející středem O je ze všech nejdelší a nazývá se průměr kružnice.

Tečna je přímka, která se dotýká kružnice pouze v jednom bodě (A, B). Úhel, který svírá s poloměrem kruhu (úsečkou spojující střed O s daným bodem doteku), je vždy kolmý (90°). Z toho vyplývá, že přímku, která se dotýká kružnice a zároveň je kolmá na poloměr kruhu, považujeme za tečnu. Každým bodem kružnice prochází právě jedna tečna.

OABCD

Část kružnice mezi body A a B se nazývá oblouk AB. Obvodový úhel je úhel odpovídající určitému oblouku s vrcholem položeným na kružnici. Na obrázku dole je to úhel ∠ADB pro oblouk AB.

Středový úhel je úhel odpovídající určitému oblouku s vrcholem ve středu kruhu. V tomto případě je to úhel ∠AOB.

Platí, že velikost středového úhlu pro shodné oblouky je vždy dvojnásobkem velikosti obvodového úhlu:

αOABD
OBAαD

Také platí, že obvodové úhly pro daný oblouk mají vždy stejnou velikost. Na obrázcích dole jsou to všechny uhly označené křížkem.

OABDEF
OABDEF

Thaletova věta: Jakýkoli obvodový úhel vepsaný do půlkruhu (úsečka AB prochází středem a je průměrem kruhu) je pravý úhel.

OAB

Úhel mezi tečnou a tětivou (úsekový úhel ∠DAZ) procházející bodem doteku se rovná obvodovému úhlu přiléhajícímu k dané tečně (oblouku).

OADEFGZ

Úhly stejné barvy mají stejnou velikost.

OABC

Tětivový čtyřúhelník má každý vrchol na obvodu kružnice. Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je roven 180°:

αO180°−αRSQP180°−ββ


   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify