Poměry

Poměr specifikuje množství jedné veličiny k druhé. Poměry se obvykle používají k relativnímu (ne absolutnímu) srovnání dvou nebo více čísel/množství.

Poměr dvou veličin lze zapsat jako zlomek, např. 1:2 lze napsat jako ½. Čte se jako "1 ku 2". To znamená, že druhé množství je dvakrát větší než první (druhé množství obsahuje dva díly, zatímco první jenom jeden díl). Poměr pro tři a víc veličin zapisujeme jako 1:3:2 nebo 5:7:3, nazýváme ho postupným poměrem.

Pořadí je důležité. Poměr 1: 2 není stejný jako poměr 2: 1. Poměr, který získáme výměnou prvního členu s druhým nazýváme převrácený poměr.

Poměry mohou být zjednodušeny/kráceny vydělením stejným číslem. Poměr 15: 3 je stejný jako poměr 5: 1. Můžeme to přečíst jako 15 je ku 3 jako 5 je ku 1. Oba mají stejnou hodnotu, i když vypadají jinak. Poměr v základním tvaru je poměr, ve kterém členy nelze dále dělit společným dělitelem (např. 1: 8: 9 nebo 2: 3 nebo 4: 5: 7)

Poměr může specifikovat vztah části ku části nebo části ku celku.

Pokud budeme mít 12 dívek a 4 chlapce ve třídě (celkem 16 dětí), jejich poměr dívky k chlapcům je 12: 4 (lze zjednodušit na 3: 1). Poměr chlapců k dívkám je tedy 1: 3. A poměr dívek ke všem dětem (části k celku) je 12:16 (nebo 3: 4 po zjednodušení).

Poměr "části ku části" nám vlastně jen vyjadřuje části nějakého určitého celku (celek je veličina rovna 1). Pokud je poměr 3:1, znamená to, že děvčat jsou 3/4 a kluků 1/4.

Rozdělení čísla na dvě (nebo více) části v daném poměru

Vezmeme si číslo 20. Máme ho rozdělit na dvě části v poměru 3: 7.

Dvě části, které hledáme, jsou x a y, přičemž platí, že x bude k y jako 3 ku 7 a současně x + y = 20

Číslo k je číslo, se kterým budeme v závěru násobit, abychom z relativní části celku dostali absolutní. Reprezentuje tú část, která odpovídá jednomu dílu poměru pro číslo 20. Bude platit x = 3k a y = 7k.

Jinými slovy, pokud je poměr a: b, musíme sčítat členy (a + b nebo 3 + 7 = 10) a tímto součtem rozdělit původní číslo (20) abychom dostali k. k=20/10 = 2. Pak ho musíme vynásobit členy poměru, abychom dostali výsledek. 3k = 6; 7k = 14.

Jejich součet se rovná původnímu číslu (6 + 14 = 20).

Poměr části k celku

Poměr dívek ke všem studentům ve třídě je 3: 7. Celkem je zde 1400 studentů. Kolik je chlapců?

1400 studentů by mělo být rozděleno na 7 dílů, abychom dostali k.

Počet dívek je 3 × k = 3 × 200 = 600. Zbytek budou chlapci (1400–600 = 800).

Jiným způsobem je nastavit poměr části k celku pro chlapce a to je (7−3): 7 = 4: 7. S k rovným 200 je počet chlapců 4 × k = 4 × 200 = 800.

Poměry

Poměr specifikuje množství jedné veličiny k druhé. Poměry se obvykle používají k relativnímu (ne absolutnímu) srovnání dvou nebo více čísel/množství.

Poměr dvou veličin lze zapsat jako zlomek, např. 1:2 lze napsat jako ½. Čte se jako "1 ku 2". To znamená, že druhé množství je dvakrát větší než první (druhé množství obsahuje dva díly, zatímco první jenom jeden díl). Poměr pro tři a víc veličin zapisujeme jako 1:3:2 nebo 5:7:3, nazýváme ho postupným poměrem.

Pořadí je důležité. Poměr 1: 2 není stejný jako poměr 2: 1. Poměr, který získáme výměnou prvního členu s druhým nazýváme převrácený poměr.

Poměry mohou být zjednodušeny/kráceny vydělením stejným číslem. Poměr 15: 3 je stejný jako poměr 5: 1. Můžeme to přečíst jako 15 je ku 3 jako 5 je ku 1. Oba mají stejnou hodnotu, i když vypadají jinak. Poměr v základním tvaru je poměr, ve kterém členy nelze dále dělit společným dělitelem (např. 1: 8: 9 nebo 2: 3 nebo 4: 5: 7)

Poměr může specifikovat vztah části ku části nebo části ku celku.

Pokud budeme mít 12 dívek a 4 chlapce ve třídě (celkem 16 dětí), jejich poměr dívky k chlapcům je 12: 4 (lze zjednodušit na 3: 1). Poměr chlapců k dívkám je tedy 1: 3. A poměr dívek ke všem dětem (části k celku) je 12:16 (nebo 3: 4 po zjednodušení).

Poměr "části ku části" nám vlastně jen vyjadřuje části nějakého určitého celku (celek je veličina rovna 1). Pokud je poměr 3:1, znamená to, že děvčat jsou 3/4 a kluků 1/4.

Rozdělení čísla na dvě (nebo více) části v daném poměru

Vezmeme si číslo 20. Máme ho rozdělit na dvě části v poměru 3: 7.

Dvě části, které hledáme, jsou x a y, přičemž platí, že x bude k y jako 3 ku 7 a současně x + y = 20

Číslo k je číslo, se kterým budeme v závěru násobit, abychom z relativní části celku dostali absolutní. Reprezentuje tú část, která odpovídá jednomu dílu poměru pro číslo 20. Bude platit x = 3k a y = 7k.

Jinými slovy, pokud je poměr a: b, musíme sčítat členy (a + b nebo 3 + 7 = 10) a tímto součtem rozdělit původní číslo (20) abychom dostali k. k=20/10 = 2. Pak ho musíme vynásobit členy poměru, abychom dostali výsledek. 3k = 6; 7k = 14.

Jejich součet se rovná původnímu číslu (6 + 14 = 20).

Poměr části k celku

Poměr dívek ke všem studentům ve třídě je 3: 7. Celkem je zde 1400 studentů. Kolik je chlapců?

1400 studentů by mělo být rozděleno na 7 dílů, abychom dostali k.

Počet dívek je 3 × k = 3 × 200 = 600. Zbytek budou chlapci (1400–600 = 800).

Jiným způsobem je nastavit poměr části k celku pro chlapce a to je (7−3): 7 = 4: 7. S k rovným 200 je počet chlapců 4 × k = 4 × 200 = 800.

Poměry

Poměr specifikuje množství jedné veličiny k druhé. Poměry se obvykle používají k relativnímu (ne absolutnímu) srovnání dvou nebo více čísel/množství.

Poměr dvou veličin lze zapsat jako zlomek, např. 1:2 lze napsat jako ½. Čte se jako "1 ku 2". To znamená, že druhé množství je dvakrát větší než první (druhé množství obsahuje dva díly, zatímco první jenom jeden díl). Poměr pro tři a víc veličin zapisujeme jako 1:3:2 nebo 5:7:3, nazýváme ho postupným poměrem.

Pořadí je důležité. Poměr 1: 2 není stejný jako poměr 2: 1. Poměr, který získáme výměnou prvního členu s druhým nazýváme převrácený poměr.

Poměry mohou být zjednodušeny/kráceny vydělením stejným číslem. Poměr 15: 3 je stejný jako poměr 5: 1. Můžeme to přečíst jako 15 je ku 3 jako 5 je ku 1. Oba mají stejnou hodnotu, i když vypadají jinak. Poměr v základním tvaru je poměr, ve kterém členy nelze dále dělit společným dělitelem (např. 1: 8: 9 nebo 2: 3 nebo 4: 5: 7)

Poměr může specifikovat vztah části ku části nebo části ku celku.

Pokud budeme mít 12 dívek a 4 chlapce ve třídě (celkem 16 dětí), jejich poměr dívky k chlapcům je 12: 4 (lze zjednodušit na 3: 1). Poměr chlapců k dívkám je tedy 1: 3. A poměr dívek ke všem dětem (části k celku) je 12:16 (nebo 3: 4 po zjednodušení).

Poměr "části ku části" nám vlastně jen vyjadřuje části nějakého určitého celku (celek je veličina rovna 1). Pokud je poměr 3:1, znamená to, že děvčat jsou 3/4 a kluků 1/4.

Rozdělení čísla na dvě (nebo více) části v daném poměru

Vezmeme si číslo 20. Máme ho rozdělit na dvě části v poměru 3: 7.

Dvě části, které hledáme, jsou x a y, přičemž platí, že x bude k y jako 3 ku 7 a současně x + y = 20

Číslo k je číslo, se kterým budeme v závěru násobit, abychom z relativní části celku dostali absolutní. Reprezentuje tú část, která odpovídá jednomu dílu poměru pro číslo 20. Bude platit x = 3k a y = 7k.

Jinými slovy, pokud je poměr a: b, musíme sčítat členy (a + b nebo 3 + 7 = 10) a tímto součtem rozdělit původní číslo (20) abychom dostali k. k=20/10 = 2. Pak ho musíme vynásobit členy poměru, abychom dostali výsledek. 3k = 6; 7k = 14.

Jejich součet se rovná původnímu číslu (6 + 14 = 20).

Poměr části k celku

Poměr dívek ke všem studentům ve třídě je 3: 7. Celkem je zde 1400 studentů. Kolik je chlapců?

1400 studentů by mělo být rozděleno na 7 dílů, abychom dostali k.

Počet dívek je 3 × k = 3 × 200 = 600. Zbytek budou chlapci (1400–600 = 800).

Jiným způsobem je nastavit poměr části k celku pro chlapce a to je (7−3): 7 = 4: 7. S k rovným 200 je počet chlapců 4 × k = 4 × 200 = 800.

Výpočty s procenty

Procenta slouží na označení relativní části z celku. Je to vlastně zlomek, jehož jmenovatel (dolní číslo) je vždy 100. Označují se pomocí znaku procenta (%). 1% je tedy $1/100$. Pokud řekneme 20%, máme na mysli $20/100 = 1/5$. Podobně 25% znamená $1/4$, protože $25/100 = 1/4$ a 50% znamená $1/2$, protože $50/100 = 1/2$.

Pokud chceme změnit procentuální hodnotu na desetinné číslo, stačí ho vydělit číslem 100. Například 25% = $25/100$ = 0.25

Pokud chceme změnit procento na zlomek, musíme ho upravit na jmenovatel 100. Například 50 % = $50/100 = 1/2$

Následující příklady ukazují, jak počítat s procenty:

3 je kolik procent z 12?
Abychom získali výsledek, vydělíme 3 dvanáctkou (zjistíme tak poměrnou část celku, kterou 3 představuje z 12) a tu se pokusíme převést na zlomek se jmenovatelem 100:

Kolik je 20% z 80?
V tomto případě stačí zjistit, kolik je 20/100 z 80:

8 je 40% z jakého čísla?
Zde je 8 rovno $40/100$ nějakého čísla. Abychom to číslo získali, musíme 8 vynásobit převráceným zlomkem, a to je $100/40$:

Procentuální změna
Cena koláčku se zvedla z 10 na 12 korun. Vyjádřete toto zvýšení jako procentuální změnu původní ceny.
Hmotnost produktu se snížila z 15 na 10 kil. O jaké procento se snížila?

Výpočty s procenty

Procenta slouží na označení relativní části z celku. Je to vlastně zlomek, jehož jmenovatel (dolní číslo) je vždy 100. Označují se pomocí znaku procenta (%). 1% je tedy $1/100$. Pokud řekneme 20%, máme na mysli $20/100 = 1/5$. Podobně 25% znamená $1/4$, protože $25/100 = 1/4$ a 50% znamená $1/2$, protože $50/100 = 1/2$.

Pokud chceme změnit procentuální hodnotu na desetinné číslo, stačí ho vydělit číslem 100. Například 25% = $25/100$ = 0.25

Pokud chceme změnit procento na zlomek, musíme ho upravit na jmenovatel 100. Například 50 % = $50/100 = 1/2$

Následující příklady ukazují, jak počítat s procenty:

3 je kolik procent z 12?
Abychom získali výsledek, vydělíme 3 dvanáctkou (zjistíme tak poměrnou část celku, kterou 3 představuje z 12) a tu se pokusíme převést na zlomek se jmenovatelem 100:

Kolik je 20% z 80?
V tomto případě stačí zjistit, kolik je 20/100 z 80:

8 je 40% z jakého čísla?
Zde je 8 rovno $40/100$ nějakého čísla. Abychom to číslo získali, musíme 8 vynásobit převráceným zlomkem, a to je $100/40$:

Procentuální změna
Cena koláčku se zvedla z 10 na 12 korun. Vyjádřete toto zvýšení jako procentuální změnu původní ceny.
Hmotnost produktu se snížila z 15 na 10 kil. O jaké procento se snížila?