Základní množinové operace a Vennovy diagramy

Množinové symboly

Je nutné odlišovat prvky a podmnožiny: symboly ∈ a ⊂ mají odlišný význam. Pokud A={1, 2, 3}, nemůžeme napsat, že 3⊂A (protože 3 je prvkem množiny A, ne podmnožinou) nebo {3}∈A (protože {3} je podmnožinou, ne prvkem).

Prázdná a univerzální množina

Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná množina. Zapisujeme ji jako {} nebo ∅. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny (včetně sebe samotné).

Univerzální množina U je množina obsahující všechny uvažované objekty nebo prvky. Všechny ostatní množiny jsou podmnožinami univerzální množiny.

Vennův diagram

Vennův diagram je diagram, který ukazuje všechny možné logické vztahy mezi různými soubory. Vennovy diagramy se obvykle používají k ilustraci průniku množin (prvků, které jsou společné pro všechny množiny).

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Základní množinové operace

Sjednocení

Sjednocení A a B je definováno jako množina, která se skládá ze všech prvků patřících do množiny A nebo B. Používáme symbol ∪: A ∪ B

Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Průnik

Průnik dvou množin A a B (zapisovaný jako A ∩ B) se skládá ze všech prvků, které jsou společné oběma množinám. Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}.

Dvě množiny označíme jako disjunktní právě tehdy, když nemají ani jeden společný prvek. Jejich průnik je prázdná množina: A ∩ B = ∅.

Rozdíl množin

Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl značíme jako:

A − B = A B = {x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A − B = {1, 2}

Doplněk množiny (komplement)

Doplněk množiny je množina všech prvků, které nejsou v dané množině B, ale přitom jsou v množině, která obsahuje množinu B jako podmnožinu (často se k tomu používá univerzální množina U). Doplněk množiny je vlastně množinový rozdíl za podmínky, že množina B je podmnožinou jiné množiny. Značíme B’.

Příklad:

B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ⊂ C
B’ = {5, 6, 7}

Symetrický rozdíl

Symetricky rozdíl (symetrická diference) je taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako A Δ B.

A Δ B = {x | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ⋀ x ∉ A ∩ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A Δ B = {1, 2, 5, 6, 7}