Množiny

Množina je definována jako soubor objektů nazývaných prvky. Vždy se značí velkým písmenem (např. A, B, C). Může být definována:

• vyjmenováním členů uvnitř {}, např. množina A = {2, 4, 6, 8}. F (křestní jména) = {Emma, Anna, Martin}, S (samohlásky)= {a, e, i, o, u, y}. Nekonečné množiny můžeme psát jako A = {2, 4, 6, 8, ...}.
• popsáním charakteristické vlastnosti / pravidla použitého pro výběr prvku množiny, např. S = {x: x je samohláska}, A = {x | x je sudé číslo} nebo jiným způsobem: A= {x | ∃s∈Z : x= 2s} (pro každé x patřící množině A existuje nějaké číslo s z oboru celých čísel Z, pro které je x jeho dvojnásobkem - takhle lze matematicky zapsat, že A je množina sudých čísel/čísel dělitelných dvěma beze zbytku). Používáme symboly ∃ (existuje...) a ∀ (pro všechna...)

Rovnost a velikost množin

Dvě množiny jsou stejné, pokud mají stejné prvky. Na pořadí prvků nezáleží. Množiny {4, 5, 6}, {5, 6, 4} a {6, 4, 5} jsou stejné. Nezajímá nás ani opakování prvků. Množiny {4, 4, 4, 5, 6, 6} a {4, 5, 6} jsou stejné (jsou si rovny), protože nás zajímá pouze jeden výskyt (instance) každého prvku.

Pokud prvek patří do množiny A, použijeme symbol ∈. Pokud A = {1, 2, 3}, pak 1 ∈ A (čteme, že 1 je prvkem A, 1 je obsažen v A). Pro prvky, které nejsou obsaženy v množině, používáme symbol ∉, např. 4 ∉ A.

Počet prvků množiny někdy označujeme jako mohutnost (kardinalita) a značíme jej pomocí ||. Pokud C = {0, 1, 2, 3}, pak obsahuje 4 prvky: |C|= 4.

Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná.

Podmnožina

Pokud je každý prvek v množině A také v množině B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Zapisujeme jako B ⊂ A. Pokud A = {1, 2, 3} a B = {1, 2}, pak B ⊂ A. A pokud D = {3, 4}, potom D ⊄ A nebo {3, 4} ⊄ {1, 2, 3}.

Množina všech podmnožin množiny A se nazývá potenční množina množiny A nebo také P(A). Pokud A má n prvků, tak pro počet prvků potenční množiny (tj. počet podmnožin množiny A) platí:

Např. A={1, 2, 3} - má tři prvky. Potom počet její podmnožin je: $2^n=2^3=8$

Množinové symboly

Je nutné odlišovat prvky a podmnožiny: symboly ∈ a ⊂ mají odlišný význam. Pokud A={1, 2, 3}, nemůžeme napsat, že 3⊂A (protože 3 je prvkem množiny A, ne podmnožinou) nebo {3}∈A (protože {3} je podmnožinou, ne prvkem).

Prázdná a univerzální množina

Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná množina. Zapisujeme ji jako {} nebo ∅. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny (včetně sebe samotné).

Univerzální množina U je množina obsahující všechny uvažované objekty nebo prvky. Všechny ostatní množiny jsou podmnožinami univerzální množiny.

Vennův diagram

Vennův diagram je diagram, který ukazuje všechny možné logické vztahy mezi různými soubory. Vennovy diagramy se obvykle používají k ilustraci průniku množin (prvků, které jsou společné pro všechny množiny).

471

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Základní množinové operace

Sjednocení

Sjednocení A a B je definováno jako množina, která se skládá ze všech prvků patřících do množiny A nebo B. Používáme symbol ∪: A ∪ B

Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} 464

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Průnik

Průnik dvou množin A a B (zapisovaný jako A ∩ B) se skládá ze všech prvků, které jsou společné oběma množinám. Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} 463

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}.

Dvě množiny označíme jako disjunktní právě tehdy, když nemají ani jeden společný prvek. Jejich průnik je prázdná množina: A ∩ B = ∅.

Rozdíl množin

Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl značíme jako:

A − B = A B = {x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A − B = {1, 2} 465

Doplněk množiny (komplement)

Doplněk množiny je množina všech prvků, které nejsou v dane množině B, ale přitom jsou v množině, která obsahuje množinu B jako podmnožinou (často se k tomu používá univerzální množina U). Doplněk množiny je vlastně množinový rozdíl za podmínky, že množina B je podmnožinou jiné množiny. Značíme B’.

468

Příklad:

B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ⊂ C
B’ = {5, 6, 7}

Symetricky rozdíl

Symetricky rozdíl (symetrická diference) je taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako A Δ B.

A Δ B = {x | x ∈ A ⋀ x ∈ B ⋀ x ∉ A ∩ B} 466

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A Δ B = {1, 2, 5, 6, 7}

Množiny

Množina je definována jako soubor objektů nazývaných prvky. Vždy se značí velkým písmenem (např. A, B, C). Může být definována:

• vyjmenováním členů uvnitř {}, např. množina A = {2, 4, 6, 8}. F (křestní jména) = {Emma, Anna, Martin}, S (samohlásky)= {a, e, i, o, u, y}. Nekonečné množiny můžeme psát jako A = {2, 4, 6, 8, ...}.
• popsáním charakteristické vlastnosti / pravidla použitého pro výběr prvku množiny, např. S = {x: x je samohláska}, A = {x | x je sudé číslo} nebo jiným způsobem: A= {x | ∃s∈Z : x= 2s} (pro každé x patřící množině A existuje nějaké číslo s z oboru celých čísel Z, pro které je x jeho dvojnásobkem - takhle lze matematicky zapsat, že A je množina sudých čísel/čísel dělitelných dvěma beze zbytku). Používáme symboly ∃ (existuje...) a ∀ (pro všechna...)

Rovnost a velikost množin

Dvě množiny jsou stejné, pokud mají stejné prvky. Na pořadí prvků nezáleží. Množiny {4, 5, 6}, {5, 6, 4} a {6, 4, 5} jsou stejné. Nezajímá nás ani opakování prvků. Množiny {4, 4, 4, 5, 6, 6} a {4, 5, 6} jsou stejné (jsou si rovny), protože nás zajímá pouze jeden výskyt (instance) každého prvku.

Pokud prvek patří do množiny A, použijeme symbol ∈. Pokud A = {1, 2, 3}, pak 1 ∈ A (čteme, že 1 je prvkem A, 1 je obsažen v A). Pro prvky, které nejsou obsaženy v množině, používáme symbol ∉, např. 4 ∉ A.

Počet prvků množiny někdy označujeme jako mohutnost (kardinalita) a značíme jej pomocí ||. Pokud C = {0, 1, 2, 3}, pak obsahuje 4 prvky: |C|= 4.

Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná.

Podmnožina

Pokud je každý prvek v množině A také v množině B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Zapisujeme jako B ⊂ A. Pokud A = {1, 2, 3} a B = {1, 2}, pak B ⊂ A. A pokud D = {3, 4}, potom D ⊄ A nebo {3, 4} ⊄ {1, 2, 3}.

Množina všech podmnožin množiny A se nazývá potenční množina množiny A nebo také P(A). Pokud A má n prvků, tak pro počet prvků potenční množiny (tj. počet podmnožin množiny A) platí:

Např. A={1, 2, 3} - má tři prvky. Potom počet její podmnožin je: $2^n=2^3=8$

Množinové symboly

Je nutné odlišovat prvky a podmnožiny: symboly ∈ a ⊂ mají odlišný význam. Pokud A={1, 2, 3}, nemůžeme napsat, že 3⊂A (protože 3 je prvkem množiny A, ne podmnožinou) nebo {3}∈A (protože {3} je podmnožinou, ne prvkem).

Prázdná a univerzální množina

Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná množina. Zapisujeme ji jako {} nebo ∅. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny (včetně sebe samotné).

Univerzální množina U je množina obsahující všechny uvažované objekty nebo prvky. Všechny ostatní množiny jsou podmnožinami univerzální množiny.

Vennův diagram

Vennův diagram je diagram, který ukazuje všechny možné logické vztahy mezi různými soubory. Vennovy diagramy se obvykle používají k ilustraci průniku množin (prvků, které jsou společné pro všechny množiny).

471

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Základní množinové operace

Sjednocení

Sjednocení A a B je definováno jako množina, která se skládá ze všech prvků patřících do množiny A nebo B. Používáme symbol ∪: A ∪ B

Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} 464

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Průnik

Průnik dvou množin A a B (zapisovaný jako A ∩ B) se skládá ze všech prvků, které jsou společné oběma množinám. Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} 463

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}.

Dvě množiny označíme jako disjunktní právě tehdy, když nemají ani jeden společný prvek. Jejich průnik je prázdná množina: A ∩ B = ∅.

Rozdíl množin

Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl značíme jako:

A − B = A B = {x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A − B = {1, 2} 465

Doplněk množiny (komplement)

Doplněk množiny je množina všech prvků, které nejsou v dane množině B, ale přitom jsou v množině, která obsahuje množinu B jako podmnožinou (často se k tomu používá univerzální množina U). Doplněk množiny je vlastně množinový rozdíl za podmínky, že množina B je podmnožinou jiné množiny. Značíme B’.

468

Příklad:

B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ⊂ C
B’ = {5, 6, 7}

Symetricky rozdíl

Symetricky rozdíl (symetrická diference) je taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako A Δ B.

A Δ B = {x | x ∈ A ⋀ x ∈ B ⋀ x ∉ A ∩ B} 466

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A Δ B = {1, 2, 5, 6, 7}

Množinové symboly

Pokud je každý prvek v množině A také v množině B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Zapisujeme jako B ⊂ A. Pokud A = {1, 2, 3} a B = {1, 2}, pak B ⊂ A. A pokud D = {3, 4}, potom D ⊄ A nebo {3, 4} ⊄ {1, 2, 3}.

Je nutné odlišovat prvky a podmnožiny: symboly ∈ a ⊂ mají odlišný význam. Pokud A={1, 2, 3}, nemůžeme napsat, že 3⊂A (protože 3 je prvkem množiny A, ne podmnožinou) nebo {3}∈A (protože {3} je podmnožinou, ne prvkem).

Prázdná a univerzální množina

Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná množina. Zapisujeme ji jako {} nebo ∅. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny (včetně sebe samotné).

Univerzální množina U je množina obsahující všechny uvažované objekty nebo prvky. Všechny ostatní množiny jsou podmnožinami univerzální množiny.

Vennův diagram

Vennův diagram je diagram, který ukazuje všechny možné logické vztahy mezi různými soubory. Vennovy diagramy se obvykle používají k ilustraci průniku množin (prvků, které jsou společné pro všechny množiny).

471

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Základní množinové operace

Sjednocení

Sjednocení A a B je definováno jako množina, která se skládá ze všech prvků patřících do množiny A nebo B. Používáme symbol ∪: A ∪ B

Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} 464

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Průnik

Průnik dvou množin A a B (zapisovaný jako A ∩ B) se skládá ze všech prvků, které jsou společné oběma množinám. Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} 463

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}.

Dvě množiny označíme jako disjunktní právě tehdy, když nemají ani jeden společný prvek. Jejich průnik je prázdná množina: A ∩ B = ∅.

Rozdíl množin

Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl značíme jako:

A − B = A B = {x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A − B = {1, 2} 465

Doplněk množiny (komplement)

Doplněk množiny je množina všech prvků, které nejsou v dane množině B, ale přitom jsou v množině, která obsahuje množinu B jako podmnožinou (často se k tomu používá univerzální množina U). Doplněk množiny je vlastně množinový rozdíl za podmínky, že množina B je podmnožinou jiné množiny. Značíme B’.

468

Příklad:

B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ⊂ C
B’ = {5, 6, 7}

Symetricky rozdíl

Symetricky rozdíl (symetrická diference) je taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako A Δ B.

A Δ B = {x | x ∈ A ⋀ x ∈ B ⋀ x ∉ A ∩ B} 466

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A Δ B = {1, 2, 5, 6, 7}

Množiny

Množina je definována jako soubor objektů nazývaných prvky. Vždy se značí velkým písmenem (např. A, B, C). Může být definována:

• vyjmenováním členů uvnitř {}, např. množina A = {2, 4, 6, 8}. F (křestní jména) = {Emma, Anna, Martin}, S (samohlásky)= {a, e, i, o, u, y}. Nekonečné množiny můžeme psát jako A = {2, 4, 6, 8, ...}.
• popsáním charakteristické vlastnosti / pravidla použitého pro výběr prvku množiny, např. S = {x: x je samohláska}, A = {x | x je sudé číslo} nebo jiným způsobem: A= {x | ∃s∈Z : x= 2s} (pro každé x patřící množině A existuje nějaké číslo s z oboru celých čísel Z, pro které je x jeho dvojnásobkem - takhle lze matematicky zapsat, že A je množina sudých čísel/čísel dělitelných dvěma beze zbytku). Používáme symboly ∃ (existuje...) a ∀ (pro všechna...)

Rovnost a velikost množin

Dvě množiny jsou stejné, pokud mají stejné prvky. Na pořadí prvků nezáleží. Množiny {4, 5, 6}, {5, 6, 4} a {6, 4, 5} jsou stejné. Nezajímá nás ani opakování prvků. Množiny {4, 4, 4, 5, 6, 6} a {4, 5, 6} jsou stejné (jsou si rovny), protože nás zajímá pouze jeden výskyt (instance) každého prvku.

Pokud prvek patří do množiny A, použijeme symbol ∈. Pokud A = {1, 2, 3}, pak 1 ∈ A (čteme, že 1 je prvkem A, 1 je obsažen v A). Pro prvky, které nejsou obsaženy v množině, používáme symbol ∉, např. 4 ∉ A.

Počet prvků množiny někdy označujeme jako mohutnost (kardinalita) a značíme jej pomocí ||. Pokud C = {0, 1, 2, 3}, pak obsahuje 4 prvky: |C|= 4.

Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná.

Podmnožina

Pokud je každý prvek v množině A také v množině B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Zapisujeme jako B ⊂ A. Pokud A = {1, 2, 3} a B = {1, 2}, pak B ⊂ A. A pokud D = {3, 4}, potom D ⊄ A nebo {3, 4} ⊄ {1, 2, 3}.

Množina všech podmnožin množiny A se nazývá potenční množina množiny A nebo také P(A). Pokud A má n prvků, tak pro počet prvků potenční množiny (tj. počet podmnožin množiny A) platí:

Např. A={1, 2, 3} - má tři prvky. Potom počet její podmnožin je: $2^n=2^3=8$

Množinové symboly

Je nutné odlišovat prvky a podmnožiny: symboly ∈ a ⊂ mají odlišný význam. Pokud A={1, 2, 3}, nemůžeme napsat, že 3⊂A (protože 3 je prvkem množiny A, ne podmnožinou) nebo {3}∈A (protože {3} je podmnožinou, ne prvkem).

Prázdná a univerzální množina

Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná množina. Zapisujeme ji jako {} nebo ∅. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny (včetně sebe samotné).

Univerzální množina U je množina obsahující všechny uvažované objekty nebo prvky. Všechny ostatní množiny jsou podmnožinami univerzální množiny.

Vennův diagram

Vennův diagram je diagram, který ukazuje všechny možné logické vztahy mezi různými soubory. Vennovy diagramy se obvykle používají k ilustraci průniku množin (prvků, které jsou společné pro všechny množiny).

471

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Základní množinové operace

Sjednocení

Sjednocení A a B je definováno jako množina, která se skládá ze všech prvků patřících do množiny A nebo B. Používáme symbol ∪: A ∪ B

Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} 464

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Průnik

Průnik dvou množin A a B (zapisovaný jako A ∩ B) se skládá ze všech prvků, které jsou společné oběma množinám. Matematickým zápisem to definujeme jako:

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} 463

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {3, 4}.

Dvě množiny označíme jako disjunktní právě tehdy, když nemají ani jeden společný prvek. Jejich průnik je prázdná množina: A ∩ B = ∅.

Rozdíl množin

Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl značíme jako:

A − B = A B = {x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A − B = {1, 2} 465

Doplněk množiny (komplement)

Doplněk množiny je množina všech prvků, které nejsou v dane množině B, ale přitom jsou v množině, která obsahuje množinu B jako podmnožinou (často se k tomu používá univerzální množina U). Doplněk množiny je vlastně množinový rozdíl za podmínky, že množina B je podmnožinou jiné množiny. Značíme B’.

468

Příklad:

B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B ⊂ C
B’ = {5, 6, 7}

Symetricky rozdíl

Symetricky rozdíl (symetrická diference) je taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako A Δ B.

A Δ B = {x | x ∈ A ⋀ x ∈ B ⋀ x ∉ A ∩ B} 466

Příklad:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
A Δ B = {1, 2, 5, 6, 7}