Objem a povrch koule, kužele a válce

Objem a povrch koule, kužele a válce

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Koule

Koule je dokonale kulaté těleso, jehož každý bod na povrchu je stejně vzdálený od jeho středu. Poloměr (r) koule je vzdálenost od středu koule (C) k libovolnému bodu na povrchu tohoto tělesa. Objem a povrch koule vypočítáme pomocí těchto vzorců:

Cr
$$ S = 4πr ^ 2 $$

Ze vzorce vyplývá, že povrch koule se ve skutečnosti rovná obsahu čtyř kruhů stejného poloměru.

Co se týka objemu, ze všech existujících těles má koule nejmenší povrch pro daný objem.

$$ V = 4/3 πr^3 $$

Válec

Válec je těleso, které má dvě rovnoběžné (kruhové nebo oblé), stejně orientované základny (podstavy) spojené pláštěm.

rrsshh21

Výška (v nebo h, z angl. height) válce je kolmá vzdálenost mezi jeho podstavami.

Je-li podstavou kruh, pak válec nazýváme kruhový.

Válec může být kolmý nebo šikmý. Kolmý válec má podstavy umístěné přesně jednu nad druhou. V šikmém válci zůstávají podstavy navzájem rovnoběžné a stejného tvaru, ale stěny se nakloní pod úhlem, který není 90°. Pokud mají kolmý a šikmý válec stejnou výšku a základnu (podstavu), budou mít i stejný objem.

$$ V = S_{Z}×h = πr ^ 2h $$

SZ je obsah podstavy. Povrch válce je součtem dvou obsahů podstav a obsahu pláště. Abychom mohli vypočítat obsah pláště, musíme znát délku stěny. Pouze u pravého válce se délka stěny rovná výšce (a=s1).

r2πrh=sπr2πr2

U šikmého kruhového válce je to s2.

$$S = 2×S_{Z} + s × 2πr =$$
$$= 2πr^2 + 2πrs$$

Kužel

Kužel je těleso, které vznikne spojením oblé podstavy s bodem nad ní (vrcholem). Může to být rotační (vrchol je přesně nad středem podstavy) nebo šikmý (vrchol není nad středem). Podstava (základna) může být kruh, elipsa nebo jiný útvar, jehož strany jsou oblé (místo stran mají křivky).

rhsV

Kužel úzce souvisí s jehlanem a vzorce pro jejich objem jsou podobné (objem jehlanu je jedna třetina hranolu se stejnou šířkou, délkou a výškou a kužel je třetina válce se stejnou podstavou a výškou). Pro objem platí (SZ je obsah podstavy):

$$ V = 1/3 ×S_Z × h $$

Rotační kužel je kužel, kde výška spuštěná z vrcholu protíná kruhovou podstavu uprostřed. Je to kužel, který vznikl otáčením pravoúhlého trojúhelníku okolo jedné z odvěsen. Pro tento typ kužele definujeme poloměr pláště (s) – je to vzdálenost vrcholu kužele k okraji podstavy.

Celková povrchová plocha kužele je součtem obsahu jeho podstavy (základny) SZ a obsahu pláště SP. Obsah pláště rotačního kuželu lze vypočítat jako:

$$S_{P}= πr×s$$

Celkový povrch rotačního kužele je:

$$S=S_Z+S_P=πr^2+πrs=$$
$$=πr^2+πrs=πr(r+s)$$
rπr2πrss2πr

   
   

Copyright © 2017 - 2023 Eductify