Obvod a obsah

Obvod je délka hranice dvourozměrného útvaru (zelená čára).
Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá (měřeno v jednotkách čtverečních, např. cm²). Na obrázku je to šedá oblast.

Obvod a obsah obdélníků a čtverců

Obdélník a čtverec jsou čtyřúhelníky, jejichž strany svírají pravé úhly.

U čtverců mají všechny čtyři strany stejnou délku, takže obvod je čtyřnásobkem délky strany a .

V obdélníku jsou dva páry protilehlých stran stejné délky a, b . Obvod obdélníku (značíme o nebo P, z angl. perimeter) je dán vzorcem:

Obsah (značíme S nebo A, z angl. area) je dán vzorci:

Čtverec:

Obdélník:

Trojúhelníková nerovnost

V každém trojúhelníku jsou jakékoli dvě strany (součtem) delší než zbylá třetí strana. Takže platí:
a+b>c
c+b>a
a+c>b

Např. pokud máme udané délky stran trojúhelníku a=8, b=3, c=6 , trojúhelník můžeme sestrojit. Ale pokud jsou strany a=3, b=4, c=9, trojúhelník sestrojit nelze, protože 3+4 < 9.

Pokud máme zadané jenom dvě délky (např. a=3 a b=7) a máme zjistit možný rozsah délky strany c, postupujeme takto:
a+b > c, takže c < 10. Zároveň a+c > b (takže 3+c > 7 ⇒ c > 4). A také musí platit b+c>a (takže 7+c>3 ⇒ c>0).
Čili víme:
c<10
c>4
c>0
Aby c svojí délkou splnilo všechny tyto nerovnosti, jeho délka musí být mezi 4 a 10: 4 < c < 10

Výšky trojúhelníku

Výška trojúhelníku je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky.

Každý trojúhelník má 3 výšky, které se protínají v jednom bodě zvaném ortocentrum (O).

V ostroúhlém trojúhelníku leží všechny výšky a ortocentrum uvnitř trojúhelníku.

V pravoúhlém trojúhelníku se dvě strany shodují s výškou a ortocentrum se shoduje s vrcholem pravého úhlu.

V tupoúhlém trojúhelníku leží dvě výšky a ortocentrum mimo trojúhelník. Abychom výšky mohli narýsovat, musíme prodloužit strany trojúhelníku za jeho vrcholy.

Kostka a kvádr

Kostka/krychle je trojrozměrné těleso se 6 čtvercovými stranami. Každá její hrana (a) je stejně dlouhá a všechny její úhly jsou pravé (mají 90°).

Pro výpočet objemu a povrchu použijeme tyto vzorce:

Kvádr je trojrozměrné těleso, které má šest obdélníkových stran. Jeho úhly jsou pravé.

Krychle i kvádr patří mezi hranoly (tělesa se dvěma rovnoběžnými základnami tvořenými shodnými a shodně orientovanými mnohoúhelníky).

Koule

Koule je dokonale kulaté těleso, jehož každý bod na povrchu je stejně vzdálený od jeho středu. Poloměr (r) koule je vzdálenost od středu koule (C) k libovolnému bodu na povrchu tohoto tělesa. Objem a povrch koule vypočítáme pomocí těchto vzorců:

Ze vzorce vyplývá, že povrch koule se ve skutečnosti rovná obsahu čtyř kruhů stejného poloměru.

Ze všech existujících těles má koule nejmenší povrch pro daný objem.

Válec

Válec je těleso, které má dvě rovnoběžné (kruhové nebo oblé), stejně orientované základny spojené pláštěm.

Výška (v nebo h, z angl. height) válce je kolmá vzdálenost mezi jeho základnami.

Je-li podstavou kruh, pak válec nazýváme kruhový.

Válec může být kolmý nebo šikmý. Kolmý válec má základny umístěné přesně jednu nad druhou. V šikmém válci zůstávají základny navzájem rovnoběžné a stejného tvaru, ale strany se nakloní pod úhlem, který není 90°. Pokud mají kolmý a šikmý válec stejnou výšku a základnu, budou mít i stejný objem.

S^Z je obsah zákldny. Povrch válce je součtem dvou obsahů základen a obsahu pláště. Abychom mohli vypočítat obsah pláště, musíme znát délku strany. Pouze u pravého válce se délka strany rovná výšce (a=s₁). U šikmého kruhového válce je to s₂.

Kužel

Kužel je těleso, které vznikne spojením oblé základny s bodem nad ní (vrcholem). Může to být rotační (vrchol je přesně nad středem základny) nebo šikmý (vrchol není nad středem). Základna může být kruh, elipsa nebo jiný útvar, jehož strany jsou oblé (místo stran mají křivky).

Kužel úzce souvisí s jehlanem a vzorce pro jejich objem jsou podobné (objem jehlanu je jedna třetina hranolu se stejnou šířkou, délkou a výškou a kužel je třetina válce se stejnou základnou a výškou). Pro objem platí (S_Z je obsah základny):

Rotační kužel je kužel, kde výška spuštěná z vrcholu protíná kruhovou základnu uprostřed. Je to kužel, který vznikl otáčením pravoúhlého trojúhelníku okolo jedné z odvěsen. Pro tento typ kužele definujeme poloměr pláště s – je to vzdálenost vrcholu kužele k okraji základny.

Celková povrchová plocha kužele je součtem obsahu jeho základny S_Z a obsahu pláště S_P. Obsah pláště rotačního kuželu lze vypočítat jako:

Celkový povrch rotačního kužele je: