Geometrie

Osová souměrnost

Co je osová souměrnost?

Osová souměrnost je vlastnost tvarů, které vypadají stejně na obou stranách pomyslné přímky – říkáme jí osa souměrnosti.

Zkus si představit, že přeložíš papír přesně podél osy. Pokud se obě poloviny tvaru přesně překryjí, je tvar osově souměrný.

Příklady souměrných tvarů

Tato tělesa mají osu souměrnosti:

• Čtverec – má 4 osy souměrnosti
• Obdélník – má 2 osy souměrnosti
• Rovnostranný trojúhelník – má 3 osy souměrnosti
• Kruh – má nekonečně mnoho os souměrnosti

Souměrná písmena

Některá písmena abecedy jsou také osově souměrná:

• A, M, T, U, V, W, Y – mají svislou osu souměrnosti
• B, C, D, E, K – mají vodorovnou osu souměrnosti
• H, I, O, X – mají dvě osy souměrnosti (svislou i vodorovnou)

Nesouměrné tvary

Ne každý tvar má osu souměrnosti. Například:

• Nepravidelný mnohoúhelník
• Písmena F, G, R, S, Z
• Většina přirozených objektů (větve, kameny…)

Shrnutí

• Osa souměrnosti je přímka, která dělí tvar na dvě shodné poloviny.
• Tvar může mít jednu, více nebo žádnou osu souměrnosti.
• Kruh má nekonečně mnoho os souměrnosti.
• Souměrnost poznáme přeložením papíru – obě poloviny se musí překrýt.

Půdorys: Pohled na stavbu shora

Půdorys je odborný název pro pohled shora. Představ si, že jsi obr nebo letíš v letadle a díváš se na stavbu z kostek přímo dolů.

1. Co v půdorysu vidíme?

Při pohledu shora nevidíme, jak jsou sloupce vysoké, ale vidíme přesně, která políčka sítě jsou obsazená a která jsou prázdná. Půdorys nám ukazuje "zastavěnou plochu".

2. Proč je půdorys důležitý?

Z jednoho 3D obrázku (pohledu z boku) nemusí být vždy jasné, co se děje za vysokou věží. Půdorys je nejpřesnější popis stavby, protože odhalí i schované kostky, které na běžném obrázku nejdou vidět.

Zapamatuj si: Půdorys je jako "mapa" tvé stavby!

Obvod a obsah

Obvod je délka hranice dvourozměrného útvaru (zelená čára).

Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá (měřeno v jednotkách čtverečních, např. cm²). Na obrázku je to šedá oblast.

Obvod a obsah obdélníků a čtverců

Obdélník a čtverec jsou čtyřúhelníky, jejichž strany svírají pravé úhly.

U čtverců mají všechny čtyři strany stejnou délku, takže obvod je čtyřnásobkem délky strany a .

V obdélníku jsou dva páry protilehlých stran stejné délky a, b . Obvod obdélníku (značíme o nebo P, z angl. perimeter) je dán vzorcem:

Obsah (značíme S nebo A, z angl. area) je dán vzorci:

Čtverec:

Obdélník:

Obvod a obsah obdélníků a čtverců

Obdélník a čtverec jsou čtyřúhelníky, jejichž strany svírají pravé úhly.

U čtverců mají všechny čtyři strany stejnou délku, takže obvod je čtyřnásobkem délky strany a .

V obdélníku jsou dva páry protilehlých stran stejné délky a, b . Obvod obdélníku (značíme o nebo P, z angl. perimeter) je dán vzorcem:

Obsah (značíme S nebo A, z angl. area) je dán vzorci:

Čtverec:

Obdélník:

Trojúhelníková nerovnost

V každém trojúhelníku jsou jakékoli dvě strany (součtem) delší než zbylá třetí strana. Takže platí:

Např. pokud máme udané délky stran trojúhelníku a=8, b=3, c=6 , trojúhelník můžeme sestrojit. Ale pokud jsou strany a=3, b=4, c=9, trojúhelník sestrojit nelze, protože 3+4 < 9.

Pokud máme zadané jenom dvě délky (např. a=3 a b=7) a máme zjistit možný rozsah délky strany c, postupujeme takto:

Zároveň platí:

A také musí platit:

Čili víme:

Aby c svojí délkou splnilo všechny tyto nerovnosti, jeho délka musí být mezi 4 a 10:

Obsah trojúhelníku ve čtvercové mříži

Jaký obsah má zelený a modrý trojúhelník dole?

Pokud se zadíváme pozorně, všimneme si, že jejich obsah je přesně polovina obdélníku, do kterého bychom je mohli vtěsnat:

Červený obdélník má obsah 6 čtverců. Zelený i modrý trojúhelník mají přesně polovinu, tedy 3 čtverce.

Toto pravidlo platí pro každý trojúhelník. I na obrázku dole mají zelený a modrý trojúhelník obsah rovný polovině svého obdélníku – opět 3 čtverce:

A dokonce – i když vrchol trojúhelníku „vyběhne“ z obdélníku, obsahem je stále jeho polovina. Všechny trojúhelníky na dolním obrázku mají proto stejný obsah – polovinu obsahu červeného obdélníku:

Proto když určujeme obsah trojúhelníku ve čtvercové mřížce, nemusí to být vůbec složité. Stačí najít správný obdélník nebo čtverec, který k němu „patří“. Není náhoda, že vzorec pro obsah trojúhelníku zní: strana krát výška na tuto stranu, to celé děleno dvěma. Výškou označujeme kolmou vzdálenost protilehlého vrcholu od dané strany. Vyznačená výška pro fialový trojúhelník má délku 1 (obsah je 1 čtverec), pro zelený 2 (obsah jsou 2 čtverce) a pro modrý 3 (obsah je 1 a půl čtverce).

Tento postup je ale možné použít jen v případě, že jedna ze stran trojúhelníku leží přímo na hranici čtverců mříže. Co ale s trojúhelníky, které takovou stranu nemají, jako např. trojúhelník ABC dole?

I zde si můžeme pomoci čtvercem nebo obdélníkem, jako na obrázku dole. Čtverec EFCD má obsah 9 jednotek. Pokud od jeho obsahu odečteme obsahy tří krajních trojúhelníků ACD, CBF (mají stejný obsah – 1 a půl) a ABE (obsah 2), dostaneme obsah trojúhelníku ABC: 4.

Výšky trojúhelníku

Výška trojúhelníku je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky.

Každý trojúhelník má 3 výšky, které se protínají v jednom bodě zvaném ortocentrum (O).

V ostroúhlém trojúhelníku leží všechny výšky a ortocentrum uvnitř trojúhelníku.

V pravoúhlém trojúhelníku se dvě strany shodují s výškou a ortocentrum se shoduje s vrcholem pravého úhlu.

V tupoúhlém trojúhelníku leží dvě výšky a ortocentrum mimo trojúhelník. Abychom výšky mohli narýsovat, musíme prodloužit strany trojúhelníku za jeho vrcholy.

Krychle a kvádr

Kostka/krychle je trojrozměrné těleso se 6 čtvercovými stěnami. Každá její hrana (a) je stejně dlouhá a všechny její úhly jsou pravé (mají 90°).

Pro výpočet objemu a povrchu použijeme tyto vzorce:

Kvádr je trojrozměrné těleso, které má šest obdélníkových stěn. Jeho úhly jsou pravé.

Krychle i kvádr patří mezi hranoly (tělesa se dvěma rovnoběžnými základnami tvořenými shodnými a shodně orientovanými mnohoúhelníky).

Koule

Koule je dokonale kulaté těleso, jehož každý bod na povrchu je stejně vzdálený od jeho středu. Poloměr (r) koule je vzdálenost od středu koule (C) k libovolnému bodu na povrchu tohoto tělesa. Objem a povrch koule vypočítáme pomocí těchto vzorců:

Ze vzorce vyplývá, že povrch koule se ve skutečnosti rovná obsahu čtyř kruhů stejného poloměru.

Co se týka objemu, ze všech existujících těles má koule nejmenší povrch pro daný objem.

Válec

Válec je těleso, které má dvě rovnoběžné (kruhové nebo oblé), stejně orientované základny (podstavy) spojené pláštěm.

Výška (v nebo h, z angl. height) válce je kolmá vzdálenost mezi jeho podstavami.

Je-li podstavou kruh, pak válec nazýváme kruhový.

Válec může být kolmý nebo šikmý. Kolmý válec má podstavy umístěné přesně jednu nad druhou. V šikmém válci zůstávají podstavy navzájem rovnoběžné a stejného tvaru, ale stěny se nakloní pod úhlem, který není 90°. Pokud mají kolmý a šikmý válec stejnou výšku a základnu (podstavu), budou mít i stejný objem.

S_Z je obsah podstavy. Povrch válce je součtem dvou obsahů podstav a obsahu pláště. Abychom mohli vypočítat obsah pláště, musíme znát délku stěny. Pouze u pravého válce se délka stěny rovná výšce (a=s₁).

U šikmého kruhového válce je to s₂.

Kužel

Kužel je těleso, které vznikne spojením oblé podstavy s bodem nad ní (vrcholem). Může to být rotační (vrchol je přesně nad středem podstavy) nebo šikmý (vrchol není nad středem). Podstava (základna) může být kruh, elipsa nebo jiný útvar, jehož strany jsou oblé (místo stran mají křivky).

Kužel úzce souvisí s jehlanem a vzorce pro jejich objem jsou podobné (objem jehlanu je jedna třetina hranolu se stejnou šířkou, délkou a výškou a kužel je třetina válce se stejnou podstavou a výškou). Pro objem platí (S_Z je obsah podstavy):

Rotační kužel je kužel, kde výška spuštěná z vrcholu protíná kruhovou podstavu uprostřed. Je to kužel, který vznikl otáčením pravoúhlého trojúhelníku okolo jedné z odvěsen. Pro tento typ kužele definujeme poloměr pláště (s) – je to vzdálenost vrcholu kužele k okraji podstavy.

Celková povrchová plocha kužele je součtem obsahu jeho podstavy (základny) S_Z a obsahu pláště S_P. Obsah pláště rotačního kuželu lze vypočítat jako:

Celkový povrch rotačního kužele je: