Mocniny a odmocniny

Umocni na druhou

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Umocňování a mocniny

Druhá mocnina je číslo vynásobené sebou samým. Symbol je 2 (nazýváme jej exponent/mocnitel). Umocňované číslo se nazývá základ/mocněnec:

$$ 2^2 = 2 × 2 = 4 $$
$$ 3^2 = 3 × 3 = 9 $$
$$ 4^2 = 4 × 4 = 16 $$

Říkáme dvě/tři/čtyři (umocněno) na druhou. Druhou mocninu někdy označujeme i jako čtverec, protože umocněním čísla na druhou získáme obsah čtverce se stranou, jejíž délka je rovna původnímu číslu. Měrné jednotky plochy právě proto používají přívlastek čtvereční (m2 - metr čtvereční, čtverec se stranou dlouhou 1 m). Pokud se mluví pouze o mocnině nějakého čísla a není uvedeno, o kolikátou mocninu se jedná, předpokládá se automaticky, že jde právě o druhou mocninu.

Výpočet třetí mocniny je operace, při níž se číslo třikrát násobí samo sebou. Umocněním čísla na třetí získáme objem krychle s hranou, jejíž délka je rovna původnímu číslu. Kdysi se jí proto říkalo kubická (z angl. cube – krychle). Měrné jednotky objemu právě proto používají přívlastek kubický nebo krychlový (m3 - metr kubický/krychlový, hovorově kubík).

$$ 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 $$
$$ 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27 $$
$$ 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64 $$


Najdi druhou odmocninu

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Odmocňování a odmocniny

Druhá odmocnina čísla n je jiné číslo, které když se vynásobí samo sebou, rovná se n. Např. druhá odmocnina ze 16 je 4 (říkáme, že 4 je kořen druhé odmocniny 16):

$$ 16 = 4 × 4 $$
Zapíšeme jako:

$$ √16 = 4 $$
nebo
$$ √^2 {16} = 4$$

Podobně jako může číslo mít druhou, třetí, čtvrtou mocninu, může mít druhou, třetí, čtvrtou a vyšší odmocninu, např. $√^3 {27} = 3$, protože $3 × 3 × 3 = 27$.

Pro každou sudou odmocninu (2., 4., 6., ...) existují dva kořeny. Je to proto, že vynásobením dvou kladných nebo dvou záporných čísel získáme kladný výsledek. Např.:

$$ 4 × 4 = 16 $$
$$ (−4) × (−4) = 16 $$
$$√^2 {16} = ± 4$$

Pro každou lichou odmocninu (3., 5., 7., ...) existuje jenom jeden kořen, kladný nebo záporný podle toho, jestli je odmocňované číslo kladné nebo záporné. Např.:

$$√^{3}27=3$$
$$√^{3}(−27)=(−3)$$

Odmocnina je opačná operace k mocnině.



Mocniny s mocnitelem 0, 1 a vyšším

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Umocňování

Umocňování je násobení čísla sebou samým, např.:

$$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$$

Exponent3 nám říká, kolikrát se čísla 2 má násobit samo sebou. Číslo 2 se nazývá základ (mocněnec).

$$ 2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 $$
$$ 3^3 = 3 × 3 × 3 = 81 $$

Existuje několik speciálních exponentů, které si musíme pamatovat:

$$ x^0 = 1 $$
$$ x^1 = x $$
$$ x^{− n} = 1 /{x^n} $$
$$ x^{1 / n} = √^n {x} $$


Mocniny a odmocniny desetinných čísel

Zkopíruj odkaz na toto téma.


Mocniny a odmocniny zlomků

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$√{a/b} = √a/√b$$

$$(a/b)^n=a^n/b^n$$


Částečné odmocňování

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zjednodušení výrazů s odmocninami

Pro zjednodušení odmocnin můžeme použít následující vlastnost odmocňování:

$$ √{a × b} = √a × √b $$

Nejprve najdeme dělitele odmocňovaného čísla, např. √24, který je zároveň druhou mocninou nějakého jiného čísla:

$$ 24 = 2 × 2 × 3 × 2 = 4 × 6 $$
$$ √24 = √ {4 × 6} = $$
$$=√4 × √6 = 2 × √6 $$

Lze to zapsat i jako: √24=2√6



Číselné výrazy s exponenty

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$(a/b)^2=a^2/b^2$$


Číselné výrazy s mocninami a odmocninami

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zjednodušení výrazů s odmocninami

Pro zjednodušení odmocnin můžeme použít následující vlastnost odmocňování:

$$ √{a × b} = √a × √b $$

Nejprve najdeme dělitele odmocňovaného čísla, např. √24, který je zároveň druhou mocninou nějakého jiného čísla:

$$ 24 = 2 × 2 × 3 × 2 = 4 × 6 $$
$$ √24 = √ {4 × 6} = $$
$$=√4 × √6 = 2 × √6 $$

Lze to zapsat i jako: √24=2√6

Také můžeme použít vzorce:

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$√{a/b}=√a/√b$$

$$(a/b)^2=a^2/b^2$$


   
   

Copyright © 2017 - 2023 Eductify