Mocniny a odmocniny – Matematika – testy a cvičení z matematiky

Umocni na druhou

Umocňování a mocniny

Druhá mocnina je číslo vynásobené sebou samým. Symbol je ² (nazýváme jej exponent/mocnitel). Umocňované číslo se nazývá základ/mocněnec:

$$ 2^2 = 2 × 2 = 4 $$

$$ 3^2 = 3 × 3 = 9 $$

$$ 4^2 = 4 × 4 = 16 $$

Říkáme dvě/tři/čtyři (umocněno) na druhou. Druhou mocninu někdy označujeme i jako čtverec, protože umocněním čísla na druhou získáme obsah čtverce se stranou, jejíž délka je rovna původnímu číslu. Měrné jednotky plochy právě proto používají přívlastek čtvereční (m² - metr čtvereční, čtverec se stranou dlouhou 1 m). Pokud se mluví pouze o mocnině nějakého čísla a není uvedeno, o kolikátou mocninu se jedná, předpokládá se automaticky, že jde právě o druhou mocninu.

Výpočet třetí mocniny je operace, při níž se číslo třikrát násobí samo sebou. Umocněním čísla na třetí získáme objem krychle s hranou, jejíž délka je rovna původnímu číslu. Kdysi se jí proto říkalo kubická (z angl. cube – krychle). Měrné jednotky objemu právě proto používají přívlastek kubický nebo krychlový (m³ - metr kubický/krychlový, hovorově kubík).

$$ 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 $$

$$ 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27 $$

$$ 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64 $$

Najdi druhou odmocninu

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina z čísla je číslo, které po vynásobení samo sebou dává původní číslo. Například:

$$16 = 4 × 4$$

Proto:

$$√16 = 4$$

Když odmocňujeme druhou odmocninou, používáme pouze nezápornou odmocninu. Proto:

$$√16 = 4$$

Pokud však hledáme čísla, jejichž druhá mocnina je 16, vyhovuje kladné i záporné číslo:

$$4^2 = 16$$

$$(-4)^2 = 16$$

Proto má rovnice

$$x^2 = 16$$

dvě řešení:

$$x = ±4$$

Je tedy důležité rozlišovat mezi odmocňováním druhou odmocninou a řešením rovnice s druhou mocninou:
$√16 = 4$, ale rovnice $x^2 = 16$ má řešení $x = 4$ a $x = -4$.

Číslo uvnitř znaku odmocniny $√$ se nazývá odmocněnec. Například v $√64$ je 64 odmocněnec.

U odmocnin vyššího stupně zapisujeme odmocnitel nad √ . Například v $√^3{64};$ je 64 odmocněnec a 3 je odmocnitel.

Mocniny s mocnitelem 0, 1 a vyšším

Umocňování a mocniny

Exponent (mocnitel) nám říká, kolikrát se dané číslo násobí samo sebou. Číslo, které násobíme, se nazývá základ mocniny (mocněnec) a malé číslo napsané nahoře se nazývá exponent.

Například v $2^4$ je číslo 2 základ mocniny a číslo 4 exponent.

$$2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16$$

Exponent 4 nám říká, že základ 2 použijeme jako činitel čtyřikrát. A o výsledku můžeme říct, že čtvrtá mocnina dvou je 16.

$$3^3 = 3 × 3 × 3 = 27$$

Zde exponent 3 znamená, že číslo 3 vynásobíme samo sebou třikrát.

Speciální exponenty

Existuje několik důležitých pravidel pro exponenty, která si musíme pamatovat.

Každé nenulové číslo umocněné na 0 se rovná 1:

$$x^0 = 1$$

Například:

$$5^0 = 1$$

$$100^0 = 1$$

Číslo umocněné na 1 zůstává stejné:

$$x^1 = x$$

Například:

$$7^1 = 7$$

$$25^1 = 25$$

Záporné exponenty

Záporný exponent znamená, že použijeme převrácenou hodnotu čísla s odpovídajícím kladným exponentem.

$$a^{-n} = 1/a^n$$

Například:

$$2^{-3} = 1/2^3 = 1/8$$

Toto pravidlo platí, pokud základ mocniny není nula.

Zlomkové exponenty

Zlomkový exponent vyjadřuje odmocninu. Exponent $1/n$ znamená n-tou odmocninu daného čísla.

$$a^{1/n} = √^n{a}$$

Například exponent $1/2$ znamená druhou odmocninu:

$$16^{1/2} = √{16} = 4$$

Exponent $1/3$ znamená třetí odmocninu:

$$27^{1/3} = √^3{27} = 3$$

Mocniny a odmocniny desetinných čísel

Mocniny a odmocniny zlomků

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$√{a/b} = √a/√b$$

$$(a/b)^n=a^n/b^n$$

Částečné odmocňování

Zjednodušení výrazů s odmocninami

Pro zjednodušení odmocnin můžeme použít následující vlastnost odmocňování:

$$ √{a × b} = √a × √b $$

Nejprve najdeme dělitele odmocňovaného čísla, např. √24, který je zároveň druhou mocninou nějakého jiného čísla:

$$ 24 = 2 × 2 × 3 × 2 = 4 × 6 $$

$$ √24 = √ {4 × 6} = $$

$$=√4 × √6 = 2 × √6 $$

Lze to zapsat i jako: √24=2√6

Číselné výrazy s exponenty

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$(a/b)^2=a^2/b^2$$

Číselné výrazy s mocninami a odmocninami

Zjednodušení výrazů s odmocninami

Pro zjednodušení odmocnin můžeme použít následující vlastnost odmocňování:

$$ √{a × b} = √a × √b $$

Nejprve najdeme dělitele odmocňovaného čísla, např. √24, který je zároveň druhou mocninou nějakého jiného čísla:

$$ 24 = 2 × 2 × 3 × 2 = 4 × 6 $$

$$ √24 = √ {4 × 6} = $$

$$=√4 × √6 = 2 × √6 $$

Lze to zapsat i jako: √24=2√6

Také můžeme použít vzorce:

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$√{a/b}=√a/√b$$

$$(a/b)^2=a^2/b^2$$