Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Sčítání a odčítání mnohočlenů

Zkopíruj odkaz na toto téma.


Násobení mnohočlenů (lehké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Násobení mnohočlenů

Vynásobit mnohočlen v závorkách znamená vynásobit vše uvnitř závorky číslem nebo proměnnou mimo závorku:

$$ m (a + b) = ma + mb $$
Příklad:
$$ 4(3y + 7) = 12y + 28 $$
$$ z(z + y − 2x) = z ^ 2 + zy − 2xz $$

Roznásobování závorek

Dvě závorky vedle sebe násobíme tak, že každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky:

$$ (m + n) (a + b) = ma + mb + na + nb $$
Příklad:
$$(3y + 2)(4 − y) = $$
$$ = 3y × 4 + 3y ×(− y) + 2 × 4 + 2 ×(− y) = $$
$$12y − 3y^2 + 8 − 2y = $$
$$=10y − 3y^2 + 8$$


Použití vzorců (těžké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

$$a^2=a×a$$

$$a^1=a$$

$$a^0=1$$

$$a^{−1}=1/a$$

$$a^{−n}=1/{a^n}$$

$$a^m×a^n=a^m a^n=a^{(m+n)}$$

$${a^m}/{a^n}=a^{m−n}$$

$$(a^m)^n=a^{(m×n)}$$

$$a^{1/n}=√^{n}a$$

$$√^n{a}√^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a×√b$$

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$$

$$(a−b)^2=(a−b)(a−b)=a^2−2ab+b^2$$

$$a^2−b^2=(a+b)(a−b)$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$$


Rozložení na součin (lehké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Rozklad mnohočlenu

Rozklad mnohočlenu je zapsání daného mnohočlenu/výrazu jako součin jednodušších, většinou již dále nerozložitelných mnohočlenů, např.:

$$ ax + bx = x (a + b) $$

Chceme-li provést rozklad mnohočlenu, musíme najít největší společný dělitel a umístit ho před závorku, která bude obsahovat ostatní členy, např.:

$$ 2x + 6xy − 8x^2 = 2x (1 + 3y − 4x) $$

Také je někdy možné mnohočlen zapsat jako součin dvou závorek, např.:

$$ 7x^2 + 7x + 3x + 3 = 7x (x + 1) +3 (x + 1) = $$
$$ = (7x + 3) (x + 1) $$


Rozložení na součin (těžké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Rozklad mnohočlenu na součin

Rozklad polynomu druhého stupně na součin je proces hledání jeho dělitelů, jejichž vynásobením získáme původní mnohočlen. V případě, že je mnohočlen polynom druhého stupně (kvadratická funkce, polynom ve tvaru: $ ax^2 + bx + c$), vypadá to takto:

$$ ax^2 +bx + c = (ex + f)(gx + h) $$

Čísla a, b, c nazýváme koeficienty, x je proměnná, f a h se nazývají kořenové činitele.

Polynom, kde a = 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde $ a = 1 (např. x^2 + 7x + 6) $ musíme najít 2 čísla (kořenové činitele f, h), jejichž vynásobením získáme c , a pokud se sečtou, dostaneme b .
V $x^2+ x + 6 $, c je 6. Číslo 6 má následující dvojice dělitelů: 2 × 3; 6 × 1. Pouze součet 6 a 1 se rovná b (7). Takže naše f a h jsou 6 a 1.

$$ x^2 + 7x + 6 = (x + 6) (x + 1) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x + 6) (x + 1) = x^2 + x + 6x + 6 = x^2 + 7x + 6 $$

Situace je trochu odlišná, pokud jsou některé z koeficientů záporná čísla:

$$ x^2 − 6x + 8 $$

8 je kladné číslo, takže pro jeho dvojice dělitelů budou vždy buď obě čísla kladná (+), nebo obě záporná (−): 2 × 4; (−2) × (−4); 1 × 8; (−1) × (−8)

Pokud je další koeficient záporný (−6), musíme použít součet záporných čísel, abychom měli šanci dostat se pod nulu, např. (−6) = (−2) + (−4). Takže naše f a h jsou: −2 a −4:

$$ x^2 − 6x + 8 = (x − 2) (x − 4) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x − 2)(x − 4) = x^2 − 4x − 2x + 8 = $$
$$ x^2 − 6x + 8 $$

Polynom, kde a ≠ 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde ≠ 1 (např. $2x^2 + 13x + 6 $) musíme najít 2 čísla, jejichž vynásobením získáme a × c a která jsou v součtu rovna b .

$$ 2x^2 + 13x + 6 $$
$$ a × c = 2 × 6 = 12 $$

Najdeme dvojice dělitelů pro 12: 2 × 6; 3 × 4; 12 × 1


Z nich vybereme tu, která v součtu dává b (13), což je ta poslední:
$$b = 13 = 12 + 1$$

Nyní rozdělíme prostřední koeficient b podle získané dvojice čísel (někdy musíme udělat dva pokusy, abychom zjistili, který ze dvou středních členů by měl jít jako první):


$$ 2x^2 + 12x + x + 6 = 2x (x + 6) + (x + 6) = $$
$$ = (x + 6) (2x + 1) $$

Zkouška správnosti:

$$ (x + 6) (2x + 1) = 2x^2 + x + 12x + 6 $$

Příklad se zápornými koeficienty:

$$ 3x^2 + 10x − 8 $$
$$ a × c = 3 × (−8) = (−24) $$

Najdeme dvojice dělitelů pro (−24): (−24) × 1; (−1) × 24; (−3) × 8; 8 × (−3); 12 × (−2); ...
Zjistíme, která z nich je v součtu rovna b (10): 10 = 12 + (−2)
Rozdělíme koeficient b:

$$ 3x^2 + 10x − 8 = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x(x + 4) −2(x + 4) = (3x − 2) (x + 4) $$

Zkouška správnosti:

$$ (3x − 2) (x + 4) = 3x^2 + 12x − 2x − 8 = $$
$$ = 3x^2 + 10x − 8 $$


Lomené výrazy (lehké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Algebraické zlomky

Algebraické zlomky jsou výrazy, které obsahují výraz v čitateli i jmenovateli. Pro zjednodušení algebraických zlomků je třeba dodržovat základní algebraické vzorce a držet se pořadí početních operací (nejprve vyhodnotíme závorky, mocniny a odmocniny zevnitř ven, pak násobíme a dělíme zleva doprava, a následně sčítáme a odečítáme zleva doprava).

Postupujeme také podle těchto vzorců:

$$a(b+c)=ab+ac$$

$${a+b}/c=a/c+b/c$$

$$a^2 = a × a$$

$$a^1 = a$$

$$a^0 = 1$$

$$a^{−1} = 1/a$$

$$a^{−n} = 1/{a^n}$$

$$a^m × a^n = a^m a^n = a^{(m + n)}$$

$${a^m}/{a^n} = a^{m − n}$$

$$(a^m)^n = a^{(m × n)}$$

$$a^{1/n} = √^{n}a$$

$$√^n{a} √^n{b} = √^n{ab}$$

$$√{ab} = √a × √b$$

$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a − b)^2 = (a − b)(a − b) = a^2 − 2ab + b^2$$

$$a^2 − b^2 = (a + b)(a − b)$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a − b)^3 = a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3$$


   
   

Copyright © 2017 - 2020 Eductify