Násobení mnohočlenů

Vynásobit mnohočlen v závorkách znamená vynásobit vše uvnitř závorky číslem nebo proměnnou mimo závorku:

Příklad:

Roznásobování závorek

Dvě závorky vedle sebe násobíme tak, že každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky:

Příklad:

Základní vzorce pro umocňování a odmocňovaní

Rozklad mnohočlenu

Rozklad mnohočlenu je zapsání daného mnohočlenu/výrazu jako součin jednodušších, většinou již dále nerozložitelných mnohočlenů, např.:

Chceme-li provést rozklad mnohočlenu, musíme najít největší společný dělitel a umístit ho před závorku, která bude obsahovat ostatní členy, např.:

Také je někdy možné mnohočlen zapsat jako součin dvou závorek, např.:

Rozklad mnohočlenu na součin

Rozklad polynomu druhého stupně na součin je proces hledání jeho dělitelů, jejichž vynásobením získáme původní mnohočlen. V případě, že je mnohočlen polynom druhého stupně (kvadratická funkce, polynom ve tvaru: $ ax^2 + bx + c$), vypadá to takto:

Čísla a, b, c nazýváme koeficienty, x je proměnná, f a h se nazývají kořenové činitele.

Polynom, kde a = 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde $ a = 1 (např. x^2 + 7x + 6) $ musíme najít 2 čísla (kořenové činitele f, h), jejichž vynásobením získáme c , a pokud se sečtou, dostaneme b .
V $x^2+ x + 6 $, c je 6. Číslo 6 má následující dvojice dělitelů: 2 × 3; 6 × 1. Pouze součet 6 a 1 se rovná b (7). Takže naše f a h jsou 6 a 1.

Zkouška správnosti:

Situace je trochu odlišná, pokud jsou některé z koeficientů záporná čísla:

8 je kladné číslo, takže pro jeho dvojice dělitelů budou vždy buď obě čísla kladná (+), nebo obě záporná (−): 2 × 4; (−2) × (−4); 1 × 8; (−1) × (−8)

Pokud je další koeficient záporný (−6), musíme použít součet záporných čísel, abychom měli šanci dostat se pod nulu, např. (−6) = (−2) + (−4). Takže naše f a h jsou: −2 a −4:

Zkouška správnosti:

Polynom, kde a ≠ 1

Pro $ax^2 + bx + c $, kde ≠ 1 (např. $2x^2 + 13x + 6 $) musíme najít 2 čísla, jejichž vynásobením získáme a × c a která jsou v součtu rovna b .

Najdeme dvojice dělitelů pro 12: 2 × 6; 3 × 4; 12 × 1

Z nich vybereme tu, která v součtu dává b (13), což je ta poslední:
Nyní rozdělíme prostřední koeficient b podle získané dvojice čísel (někdy musíme udělat dva pokusy, abychom zjistili, který ze dvou středních členů by měl jít jako první):

Zkouška správnosti:

Příklad se zápornými koeficienty:

Najdeme dvojice dělitelů pro (−24): (−24) × 1; (−1) × 24; (−3) × 8; 8 × (−3); 12 × (−2); ...
Zjistíme, která z nich je v součtu rovna b (10): 10 = 12 + (−2)
Rozdělíme koeficient b:

Zkouška správnosti:

Algebraické zlomky

Algebraické zlomky jsou výrazy, které obsahují výraz v čitateli i jmenovateli. Pro zjednodušení algebraických zlomků je třeba dodržovat základní algebraické vzorce a držet se pořadí početních operací (nejprve vyhodnotíme závorky, mocniny a odmocniny zevnitř ven, pak násobíme a dělíme zleva doprava, a následně sčítáme a odečítáme zleva doprava).

Postupujeme také podle těchto vzorců: