Dělení celými čísly
Při dělení, jako je $9 ÷ 2$, se číslo, které dělíme (9), nazývá dělenec, číslo, kterým dělíme (2), se nazývá dělitel a výsledek se nazývá podíl.
Když je dělitel celé číslo, můžeme dělit běžným způsobem. Podíl nemusí být celé číslo – může být také desetinné číslo.
Číslo 2 se do 9 vejde čtyřikrát ($4 × 2 = 8$) a zbude 1. U zbytku se ale nezastavíme – pokračujeme v dělení. Zbývající 1 je polovina ze 2 a polovina je $0.5$, takže výsledek je $4 + 0.5 = 4.5$.
Stejné pravidlo platí i tehdy, když je dělenec desetinné číslo. Dělíme běžným způsobem a desetinnou tečku v podílu umístíme přímo nad desetinnou tečku v dělenci:
Zde $4 ÷ 4 = 1$ a $0.8 ÷ 4 = 0.2$, takže dohromady dostaneme $1.2$.
Dělení desetinnými čísly
Když je dělitel desetinné číslo, přímé dělení je obtížnější. Mnohem jednodušší je nejprve změnit dělitele na celé číslo. Uděláme to tak, že dělence i dělitele vynásobíme stejným číslem: 10, 100, 1000 atd. – podle toho, co potřebujeme, aby u dělitele zmizela desetinná tečka.
Proč se tím výsledek nezmění? Dělení můžeme zapsat jako zlomek: $7 ÷ 3.5$ je stejné jako $7/3.5$. Pokud čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem, hodnota zlomku se nezmění – stejně jako jsou si rovny zlomky $1/2$ a $10/20$. Podíl tedy zůstane stejný, pouze získáme čísla, se kterými se lépe počítá.
Například:
Obě čísla jsme vynásobili 10. Dělitel 3.5 se změnil na celé číslo 35 a $70 ÷ 35$ už snadno vypočítáme: výsledek je 2. Kontrola: $2 × 3.5 = 7$
Posouvání desetinné tečky v obou číslech
Místo násobení 10, 100 nebo 1000 si můžeme představit, že v obou číslech posouváme desetinnou tečku o stejný počet míst doprava. Při násobení 10 se desetinná tečka posune o jedno místo, při násobení 100 o dvě místa a při násobení 1000 o tři místa.
Jednoduché pravidlo: spočítej desetinná místa v děliteli. O tolik míst musíš posunout desetinnou tečku v obou číslech.
Například:
Dělitel 0.35 má dvě desetinná místa, takže v obou číslech posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava. Z $0.35$ se stane $35$ a z $0.7$ se stane $70$ (doplníme nulu, protože $0.7 = 0.70$):
Je důležité posunout desetinnou tečku o stejný počet míst v dělenci i děliteli. Pokud ji posuneme o různý počet míst, výsledek bude chybný.
Dělení pomocí zlomků
Stejný princip můžeme pochopit ještě jiným způsobem. Každé desetinné číslo lze zapsat jako zlomek se jmenovatelem 10, 100 nebo 1000:
Při dělení zlomkem násobíme jeho převrácenou hodnotou – druhý zlomek obrátíme a násobíme:
Dostaneme stejný výsledek $2$ jako předtím. Podívej se na prostřední krok: 100 ze jmenovatele čísla $0.35$ se při převrácení dostane nahoru a zkrátí se s 10 ve jmenovateli čísla $0.7$. Právě proto funguje „posouvání desetinné tečky v obou číslech“ – násobení obou čísel stejnými desítkami, stovkami nebo tisíci se navzájem vyruší.
Ještě jeden příklad:
Oba jmenovatele jsou 10, takže se zkrátí a zůstane pouze $48 ÷ 12 = 4$.
Nejprve najdeme jednodušší dělení
Někdy je dělitel celé číslo, ale dělenec je malé desetinné číslo, například $0.07 ÷ 35$. Takový příklad není snadné vypočítat přímo zpaměti. Jindy zase po posunutí desetinné tečky dostaneme velká čísla, například $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.
V takových případech použijeme postup ve dvou krocích:
Krok 1. Na chvíli si odmyslíme desetinnou tečku a nuly a najdeme jednodušší dělení, které se v příkladu skrývá. Ve všech následujících příkladech je to $70 ÷ 35 = 2$.
Krok 2. Správně umístíme desetinnou tečku ve výsledku. Pomohou nám dvě pravidla:
| Pravidlo | Příklad |
| Pokud jsme dělenec zmenšili 10krát, podíl je také 10krát menší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doleva. Když dělíme menší číslo, dostaneme menší výsledek. |
$70 ÷ 35 = 2$ $7 ÷ 35 = 0.2$ $0.7 ÷ 35 = 0.02$ |
| Pokud jsme dělitel zmenšili 10krát, podíl je 10krát větší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doprava. Když dělíme menším číslem, dostaneme větší výsledek. |
$70 ÷ 35 = 2$ $70 ÷ 3.5 = 20$ $70 ÷ 0.35 = 200$ |
Nyní použijeme oba kroky u dvou obtížnějších příkladů.
Příklad 1: $0.07 ÷ 35$. Jednodušší dělení je $70 ÷ 35 = 2$. Náš dělenec ale není 70 – je to $0.07$, což je 1000krát méně ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, tři místa). Podíl tedy musí být také 1000krát menší než 2. Posuneme desetinnou tečku o tři místa doleva:
Kontrola: $0.002 × 35 = 0.07$
Příklad 2: $7 ÷ 0.035$. Nejprve změníme dělitele na celé číslo tím, že v obou číslech posuneme desetinnou tečku o tři místa: $7000 ÷ 35$. Jednodušší dělení je opět $70 ÷ 35 = 2$, ale náš dělenec 7000 je 100krát větší než 70 ($70 → 700 → 7000$, dvě místa). Podíl je tedy 100krát větší než 2 – posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava:
Kontrola: $200 × 0.035 = 7$
Porovnej to s $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Všimni si, že menší dělitel znamená větší podíl: při dělení 7 číslem 0.035 dostaneme mnohem větší výsledek než při dělení 7 číslem 0.35. Dává to smysl: čím menší jsou díly, na které 7 rozdělujeme, tím více dílů získáme.
Písemné dělení
Když podíl není zřejmý, použijeme písemné dělení. Postup je stejný jako u celých čísel – musíme pouze správně pracovat s desetinnou tečkou.
Nejprve změníme dělitele na celé číslo. Dělitel 3.2 má jedno desetinné místo, proto obě čísla vynásobíme 10:
Nyní můžeme použít písemné dělení. Protože 32 je větší než 6, číslo 32 se do 6 vejde nulakrát, takže podíl začíná 0 a desetinnou tečkou.
Abychom mohli pokračovat, zapíšeme 6 jako
Proto:
Kontrola: $0.1875 × 3.2 = 0.6$
