Desetinná čísla

Desetinná čísla

Celá čísla už znáš: 1, 2, 3, 10, 25 … Co ale dělat, když potřebujeme číslo mezi dvěma celými čísly — například půl litru džusu nebo dvě a čtvrt čokolády? Použijeme desetinná čísla!

Desetinné číslo má dvě části oddělené desetinnou čárkou (,):

3.4 = 3 celé jednotky + 4 desetiny

Desetiny

Rozděl tabulku čokolády na 10 stejných dílků. Každý dílek je jedna desetina, kterou zapisujeme jako 0.1. Pruh níže má 10 políček — každé oranžové políčko představuje $1/10$. Můžeme ji také zapsat jako 0.1.

Když vyplníme všech 10 políček, dostaneme 1 celek:   $0.1 × 10 = 1$

Pokud sníme 3 dílky, snědli jsme $3/10$, tedy 0.3 (tři desetiny).

1/10	1/10	1/10	1/10	1/10
1/10	1/10	1/10	1/10	1/10

A pokud sníme polovinu, snědli jsme $5/10$, tedy 0.5 (pět desetin).

1/10	1/10	1/10	1/10	1/10
1/10	1/10	1/10	1/10	1/10

Zlomky a desetinná čísla

Když potřebujeme zapsat číslo, které není celé jako např. tři čtvrtiny nebo jeden a půl, můžeme zde krom zlomků použít desetinné číslo. Je to vlastně pokračování zápisu v desítkové soustavě, kde se za stovkami, desítkami a jednotkami zapíše desetinný oddělovač (v Česku je to desetinná čárka, ale mohou se objevit i zápisy s desetinnou tečkou) a další číslice vpravo za ním udává desetiny, ta následující setiny, pak tisíciny atd. Obrázky dole ukazují celek rozdělený na setiny, přičemž každý řádek reprezentuje jednu desetinu.

Pokud chceme porovnat zlomky a desetinná čísla nebo s nimi provádět výpočty, musíme je všechny převést na jeden typ (buď desetinná čísla nebo zlomky).

Převedení desetinného čísla na zlomek

Krok 1:
Můžeme využít desetiny, setiny, tisíciny jako jmenovatele v závislosti na počtu desetinných míst:

• jedno místo = desetina, např. $ 0.5 = 5/10 ; ;;3.3 = 33/10$
• dvě místa = setiny, např. $ 0.02 = 2/100; 0.12 = 12/100;;; 1.38 = 138/100$
• tři místa = tisícina, např. $0.002 = 2/1000;;;0.304 = 304/1000 $

Krok 2:
Následně zjednodušíme zlomek na jeho základní tvar:

Převedení zlomku na desetinné číslo

Krok 1:
Najděme číslo, které můžeme vynásobit jmenovatelem (dolní část zlomku), abychom ve jmenovateli dosáhli číslo 10, nebo 100, nebo 1000 atd.

Krok 2:
Zlomek v této formě lze převést na desetinné číslo - stačí umístit desetinnou čárku na správné místo (jedno místo za nulou pro každou nulu ve spodním čísle):
Např. $ 5/10 = 0.5;;;25/100 = 0.25 $

Pro některá čísla v jmenovateli neexistuje možnost, jak je vynásobit, aby se staly 10, 100, nebo 1000. Pro tato čísla můžeme zkusit najít jmenovatele, který se k nim alespoň blíží, např.:

Převedení celého čísla na zlomek
Stačí umístit 1 pod celé číslo jako jmenovatele, např.:

Zlomky a desetinná čísla

Když potřebujeme zapsat číslo, které není celé jako např. tři čtvrtiny nebo jeden a půl, můžeme zde krom zlomků použít desetinné číslo. Je to vlastně pokračování zápisu v desítkové soustavě, kde se za stovkami, desítkami a jednotkami zapíše desetinný oddělovač (v Česku je to desetinná čárka, ale mohou se objevit i zápisy s desetinnou tečkou) a další číslice vpravo za ním udává desetiny, ta následující setiny, pak tisíciny atd. Obrázky dole ukazují celek rozdělený na setiny, přičemž každý řádek reprezentuje jednu desetinu.

Pokud chceme porovnat zlomky a desetinná čísla nebo s nimi provádět výpočty, musíme je všechny převést na jeden typ (buď desetinná čísla nebo zlomky).

Převedení desetinného čísla na zlomek

Krok 1:
Můžeme využít desetiny, setiny, tisíciny jako jmenovatele v závislosti na počtu desetinných míst:

• jedno místo = desetina, např. $ 0.5 = 5/10 ; ;;3.3 = 33/10$
• dvě místa = setiny, např. $ 0.02 = 2/100; 0.12 = 12/100;;; 1.38 = 138/100$
• tři místa = tisícina, např. $0.002 = 2/1000;;;0.304 = 304/1000 $

Krok 2:
Následně zjednodušíme zlomek na jeho základní tvar:

Převedení zlomku na desetinné číslo

Krok 1:
Najděme číslo, které můžeme vynásobit jmenovatelem (dolní část zlomku), abychom ve jmenovateli dosáhli číslo 10, nebo 100, nebo 1000 atd.

Krok 2:
Zlomek v této formě lze převést na desetinné číslo - stačí umístit desetinnou čárku na správné místo (jedno místo za nulou pro každou nulu ve spodním čísle):
Např.

Pro některá čísla v jmenovateli neexistuje možnost, jak je vynásobit, aby se staly 10, 100, nebo 1000. Pro tato čísla můžeme zkusit najít jmenovatele, který se k nim alespoň blíží, např.:

Převedení celého čísla na zlomek
Stačí umístit 1 pod celé číslo jako jmenovatele, např.:

Zlomky a desetinná čísla

Když potřebujeme zapsat číslo, které není celé jako např. tři čtvrtiny nebo jeden a půl, můžeme zde krom zlomků použít desetinné číslo. Je to vlastně pokračování zápisu v desítkové soustavě, kde se za stovkami, desítkami a jednotkami zapíše desetinný oddělovač (v Česku je to desetinná čárka, ale mohou se objevit i zápisy s desetinnou tečkou) a další číslice vpravo za ním udává desetiny, ta následující setiny, pak tisíciny atd. Obrázky dole ukazují celek rozdělený na setiny, přičemž každý řádek reprezentuje jednu desetinu.

Pokud chceme porovnat zlomky a desetinná čísla nebo s nimi provádět výpočty, musíme je všechny převést na jeden typ (buď desetinná čísla nebo zlomky).

Převedení desetinného čísla na zlomek

Krok 1:
Můžeme využít desetiny, setiny, tisíciny jako jmenovatele v závislosti na počtu desetinných míst:

• jedno místo = desetina, např. $ 0.5 = 5/10 ; ;;3.3 = 33/10$
• dvě místa = setiny, např. $ 0.02 = 2/100; 0.12 = 12/100;;; 1.38 = 138/100$
• tři místa = tisícina, např. $0.002 = 2/1000;;;0.304 = 304/1000 $

Krok 2:
Následně zjednodušíme zlomek na jeho základní tvar:

Převedení zlomku na desetinné číslo

Krok 1:
Najděme číslo, které můžeme vynásobit jmenovatelem (dolní část zlomku), abychom ve jmenovateli dosáhli číslo 10, nebo 100, nebo 1000 atd.

Krok 2:
Zlomek v této formě lze převést na desetinné číslo - stačí umístit desetinnou čárku na správné místo (jedno místo za nulou pro každou nulu ve spodním čísle):
Např. $ 5/10 = 0.5;;;25/100 = 0.25 $

Pro některá čísla v jmenovateli neexistuje možnost, jak je vynásobit, aby se staly 10, 100, nebo 1000. Pro tato čísla můžeme zkusit najít jmenovatele, který se k nim alespoň blíží, např.:

Převedení celého čísla na zlomek
Stačí umístit 1 pod celé číslo jako jmenovatele, např.:

Dělení celými čísly

Při dělení, jako je $9 ÷ 2$, se číslo, které dělíme (9), nazývá dělenec, číslo, kterým dělíme (2), se nazývá dělitel a výsledek se nazývá podíl.

Když je dělitel celé číslo, můžeme dělit běžným způsobem. Podíl nemusí být celé číslo – může být také desetinné číslo.

Číslo 2 se do 9 vejde čtyřikrát ($4 × 2 = 8$) a zbude 1. U zbytku se ale nezastavíme – pokračujeme v dělení. Zbývající 1 je polovina ze 2 a polovina je $0.5$, takže výsledek je $4 + 0.5 = 4.5$.

Stejné pravidlo platí i tehdy, když je dělenec desetinné číslo. Dělíme běžným způsobem a desetinnou tečku v podílu umístíme přímo nad desetinnou tečku v dělenci:

Zde $4 ÷ 4 = 1$ a $0.8 ÷ 4 = 0.2$, takže dohromady dostaneme $1.2$.

Dělení desetinnými čísly

Když je dělitel desetinné číslo, přímé dělení je obtížnější. Mnohem jednodušší je nejprve změnit dělitele na celé číslo. Uděláme to tak, že dělence i dělitele vynásobíme stejným číslem: 10, 100, 1000 atd. – podle toho, co potřebujeme, aby u dělitele zmizela desetinná tečka.

Proč se tím výsledek nezmění? Dělení můžeme zapsat jako zlomek: $7 ÷ 3.5$ je stejné jako $7/3.5$. Pokud čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem, hodnota zlomku se nezmění – stejně jako jsou si rovny zlomky $1/2$ a $10/20$. Podíl tedy zůstane stejný, pouze získáme čísla, se kterými se lépe počítá.

Například:

Obě čísla jsme vynásobili 10. Dělitel 3.5 se změnil na celé číslo 35 a $70 ÷ 35$ už snadno vypočítáme: výsledek je 2. Kontrola: $2 × 3.5 = 7$

Posouvání desetinné tečky v obou číslech

Místo násobení 10, 100 nebo 1000 si můžeme představit, že v obou číslech posouváme desetinnou tečku o stejný počet míst doprava. Při násobení 10 se desetinná tečka posune o jedno místo, při násobení 100 o dvě místa a při násobení 1000 o tři místa.

Jednoduché pravidlo: spočítej desetinná místa v děliteli. O tolik míst musíš posunout desetinnou tečku v obou číslech.

Například:

Dělitel 0.35 má dvě desetinná místa, takže v obou číslech posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava. Z $0.35$ se stane $35$ a z $0.7$ se stane $70$ (doplníme nulu, protože $0.7 = 0.70$):

Je důležité posunout desetinnou tečku o stejný počet míst v dělenci i děliteli. Pokud ji posuneme o různý počet míst, výsledek bude chybný.

Dělení pomocí zlomků

Stejný princip můžeme pochopit ještě jiným způsobem. Každé desetinné číslo lze zapsat jako zlomek se jmenovatelem 10, 100 nebo 1000:

Při dělení zlomkem násobíme jeho převrácenou hodnotou – druhý zlomek obrátíme a násobíme:

Dostaneme stejný výsledek $2$ jako předtím. Podívej se na prostřední krok: 100 ze jmenovatele čísla $0.35$ se při převrácení dostane nahoru a zkrátí se s 10 ve jmenovateli čísla $0.7$. Právě proto funguje „posouvání desetinné tečky v obou číslech“ – násobení obou čísel stejnými desítkami, stovkami nebo tisíci se navzájem vyruší.

Ještě jeden příklad:

Oba jmenovatele jsou 10, takže se zkrátí a zůstane pouze $48 ÷ 12 = 4$.

Nejprve najdeme jednodušší dělení

Někdy je dělitel celé číslo, ale dělenec je malé desetinné číslo, například $0.07 ÷ 35$. Takový příklad není snadné vypočítat přímo zpaměti. Jindy zase po posunutí desetinné tečky dostaneme velká čísla, například $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.

V takových případech použijeme postup ve dvou krocích:

Krok 1. Na chvíli si odmyslíme desetinnou tečku a nuly a najdeme jednodušší dělení, které se v příkladu skrývá. Ve všech následujících příkladech je to $70 ÷ 35 = 2$.

Krok 2. Správně umístíme desetinnou tečku ve výsledku. Pomohou nám dvě pravidla:

Pravidlo	Příklad
Pokud jsme dělenec zmenšili 10krát, podíl je také 10krát menší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doleva. Když dělíme menší číslo, dostaneme menší výsledek.	$70 ÷ 35 = 2$ $7 ÷ 35 = 0.2$ $0.7 ÷ 35 = 0.02$
Pokud jsme dělitel zmenšili 10krát, podíl je 10krát větší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doprava. Když dělíme menším číslem, dostaneme větší výsledek.	$70 ÷ 35 = 2$ $70 ÷ 3.5 = 20$ $70 ÷ 0.35 = 200$

Nyní použijeme oba kroky u dvou obtížnějších příkladů.

Příklad 1: $0.07 ÷ 35$. Jednodušší dělení je $70 ÷ 35 = 2$. Náš dělenec ale není 70 – je to $0.07$, což je 1000krát méně ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, tři místa). Podíl tedy musí být také 1000krát menší než 2. Posuneme desetinnou tečku o tři místa doleva:

Kontrola: $0.002 × 35 = 0.07$

Příklad 2: $7 ÷ 0.035$. Nejprve změníme dělitele na celé číslo tím, že v obou číslech posuneme desetinnou tečku o tři místa: $7000 ÷ 35$. Jednodušší dělení je opět $70 ÷ 35 = 2$, ale náš dělenec 7000 je 100krát větší než 70 ($70 → 700 → 7000$, dvě místa). Podíl je tedy 100krát větší než 2 – posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava:

Kontrola: $200 × 0.035 = 7$

Porovnej to s $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Všimni si, že menší dělitel znamená větší podíl: při dělení 7 číslem 0.035 dostaneme mnohem větší výsledek než při dělení 7 číslem 0.35. Dává to smysl: čím menší jsou díly, na které 7 rozdělujeme, tím více dílů získáme.

Písemné dělení

Když podíl není zřejmý, použijeme písemné dělení. Postup je stejný jako u celých čísel – musíme pouze správně pracovat s desetinnou tečkou.

Nejprve změníme dělitele na celé číslo. Dělitel 3.2 má jedno desetinné místo, proto obě čísla vynásobíme 10:

Nyní můžeme použít písemné dělení. Protože 32 je větší než 6, číslo 32 se do 6 vejde nulakrát, takže podíl začíná 0 a desetinnou tečkou. Abychom mohli pokračovat, zapíšeme 6 jako 6,0000 – přidáním nul za desetinnou tečku se jeho hodnota nezmění – a postupně připisujeme jednotlivé nuly. Desetinnou tečku v podílu umístíme přímo nad desetinnou tečku v dělenci.

Proto:

Kontrola: $0.1875 × 3.2 = 0.6$

Dělení celými čísly

Při dělení, jako je $9 ÷ 2$, se číslo, které dělíme (9), nazývá dělenec, číslo, kterým dělíme (2), se nazývá dělitel a výsledek se nazývá podíl.

Když je dělitel celé číslo, můžeme dělit běžným způsobem. Podíl nemusí být celé číslo – může být také desetinné číslo.

Číslo 2 se do 9 vejde čtyřikrát ($4 × 2 = 8$) a zbude 1. U zbytku se ale nezastavíme – pokračujeme v dělení. Zbývající 1 je polovina ze 2 a polovina je $0.5$, takže výsledek je $4 + 0.5 = 4.5$.

Stejné pravidlo platí i tehdy, když je dělenec desetinné číslo. Dělíme běžným způsobem a desetinnou tečku v podílu umístíme přímo nad desetinnou tečku v dělenci:

Zde $4 ÷ 4 = 1$ a $0.8 ÷ 4 = 0.2$, takže dohromady dostaneme $1.2$.

Dělení desetinnými čísly

Když je dělitel desetinné číslo, přímé dělení je obtížnější. Mnohem jednodušší je nejprve změnit dělitele na celé číslo. Uděláme to tak, že dělence i dělitele vynásobíme stejným číslem: 10, 100, 1000 atd. – podle toho, co potřebujeme, aby u dělitele zmizela desetinná tečka.

Proč se tím výsledek nezmění? Dělení můžeme zapsat jako zlomek: $7 ÷ 3.5$ je stejné jako $7/3.5$. Pokud čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem, hodnota zlomku se nezmění – stejně jako jsou si rovny zlomky $1/2$ a $10/20$. Podíl tedy zůstane stejný, pouze získáme čísla, se kterými se lépe počítá.

Například:

Obě čísla jsme vynásobili 10. Dělitel 3.5 se změnil na celé číslo 35 a $70 ÷ 35$ už snadno vypočítáme: výsledek je 2. Kontrola: $2 × 3.5 = 7$

Posouvání desetinné tečky v obou číslech

Místo násobení 10, 100 nebo 1000 si můžeme představit, že v obou číslech posouváme desetinnou tečku o stejný počet míst doprava. Při násobení 10 se desetinná tečka posune o jedno místo, při násobení 100 o dvě místa a při násobení 1000 o tři místa.

Jednoduché pravidlo: spočítej desetinná místa v děliteli. O tolik míst musíš posunout desetinnou tečku v obou číslech.

Například:

Dělitel 0.35 má dvě desetinná místa, takže v obou číslech posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava. Z $0.35$ se stane $35$ a z $0.7$ se stane $70$ (doplníme nulu, protože $0.7 = 0.70$):

Je důležité posunout desetinnou tečku o stejný počet míst v dělenci i děliteli. Pokud ji posuneme o různý počet míst, výsledek bude chybný.

Dělení pomocí zlomků

Stejný princip můžeme pochopit ještě jiným způsobem. Každé desetinné číslo lze zapsat jako zlomek se jmenovatelem 10, 100 nebo 1000:

Při dělení zlomkem násobíme jeho převrácenou hodnotou – druhý zlomek obrátíme a násobíme:

Dostaneme stejný výsledek $2$ jako předtím. Podívej se na prostřední krok: 100 ze jmenovatele čísla $0.35$ se při převrácení dostane nahoru a zkrátí se s 10 ve jmenovateli čísla $0.7$. Právě proto funguje „posouvání desetinné tečky v obou číslech“ – násobení obou čísel stejnými desítkami, stovkami nebo tisíci se navzájem vyruší.

Ještě jeden příklad:

Oba jmenovatele jsou 10, takže se zkrátí a zůstane pouze $48 ÷ 12 = 4$.

Nejprve najdeme jednodušší dělení

Někdy je dělitel celé číslo, ale dělenec je malé desetinné číslo, například $0.07 ÷ 35$. Takový příklad není snadné vypočítat přímo zpaměti. Jindy zase po posunutí desetinné tečky dostaneme velká čísla, například $7 ÷ 0.035 = 7000 ÷ 35$.

V takových případech použijeme postup ve dvou krocích:

Krok 1. Na chvíli si odmyslíme desetinnou tečku a nuly a najdeme jednodušší dělení, které se v příkladu skrývá. Ve všech následujících příkladech je to $70 ÷ 35 = 2$.

Krok 2. Správně umístíme desetinnou tečku ve výsledku. Pomohou nám dvě pravidla:

Pravidlo	Příklad
Pokud jsme dělenec zmenšili 10krát, podíl je také 10krát menší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doleva. Když dělíme menší číslo, dostaneme menší výsledek.	$70 ÷ 35 = 2$ $7 ÷ 35 = 0.2$ $0.7 ÷ 35 = 0.02$
Pokud jsme dělitel zmenšili 10krát, podíl je 10krát větší – posuneme desetinnou tečku o jedno místo doprava. Když dělíme menším číslem, dostaneme větší výsledek.	$70 ÷ 35 = 2$ $70 ÷ 3.5 = 20$ $70 ÷ 0.35 = 200$

Nyní použijeme oba kroky u dvou obtížnějších příkladů.

Příklad 1: $0.07 ÷ 35$. Jednodušší dělení je $70 ÷ 35 = 2$. Náš dělenec ale není 70 – je to $0.07$, což je 1000krát méně ($70 → 7 → 0.7 → 0.07$, tři místa). Podíl tedy musí být také 1000krát menší než 2. Posuneme desetinnou tečku o tři místa doleva:

Kontrola: $0.002 × 35 = 0.07$

Příklad 2: $7 ÷ 0.035$. Nejprve změníme dělitele na celé číslo tím, že v obou číslech posuneme desetinnou tečku o tři místa: $7000 ÷ 35$. Jednodušší dělení je opět $70 ÷ 35 = 2$, ale náš dělenec 7000 je 100krát větší než 70 ($70 → 700 → 7000$, dvě místa). Podíl je tedy 100krát větší než 2 – posuneme desetinnou tečku o dvě místa doprava:

Kontrola: $200 × 0.035 = 7$

Porovnej to s $7 ÷ 0.35 = 700 ÷ 35 = 20$. Všimni si, že menší dělitel znamená větší podíl: při dělení 7 číslem 0.035 dostaneme mnohem větší výsledek než při dělení 7 číslem 0.35. Dává to smysl: čím menší jsou díly, na které 7 rozdělujeme, tím více dílů získáme.

Písemné dělení

Když podíl není zřejmý, použijeme písemné dělení. Postup je stejný jako u celých čísel – musíme pouze správně pracovat s desetinnou tečkou.

Nejprve změníme dělitele na celé číslo. Dělitel 3.2 má jedno desetinné místo, proto obě čísla vynásobíme 10:

Nyní můžeme použít písemné dělení. Protože 32 je větší než 6, číslo 32 se do 6 vejde nulakrát, takže podíl začíná 0 a desetinnou tečkou. Abychom mohli pokračovat, zapíšeme 6 jako 6,0000 – přidáním nul za desetinnou tečku se jeho hodnota nezmění – a postupně připisujeme jednotlivé nuly. Desetinnou tečku v podílu umístíme přímo nad desetinnou tečku v dělenci.

Proto:

Kontrola: $0.1875 × 3.2 = 0.6$

Pořadí početních operací

Pokud má příklad více než jednu početní operaci, musíme dodržovat pravidla pro pořadí operací:

Krok 1:
Zleva doprava provedeme všechna násobení a dělení:

Krok 2:
Zleva doprava provedeme všechna sčítání a odčítání:

Pokud však příklad obsahuje závorky, je nutné provést nejprve všechny operace, které leží uvnitř závorek:
Pořadí operací platí také uvnitř závorek:
Pokud máme závorky uvnitř závorek (někdy označovány jako vnořené závorky), vždy pracujeme zevnitř ven:

Periodická čísla

Periodické číslo je číslo, které obsahuje periodu. Perioda je skupina číslic, která se pravidelně a donekonečna opakují za desetinnou čárkou u čísla, např. $ 1/3 = 0.3333333$. Perioda bývá označena vodorovnou čarou, např. $ 0.257575757=0.2ov57 $

Periodické číslo zapsané jako desetinné číslo nemůžeme bez ztráty přesnosti sčítat, odčítat, násobit ani dělit. Každé takovéto číslo však může být převedeno na zlomek a v tomto tvaru už tyto početní operace můžeme uskutečnit.

Chceme-li převést periodické číslo na zlomek, postupujeme takto:

Krok 1:
Periodické číslo dáme rovno neznámému zlomku, který označíme x:

Krok 2:
Přesuneme opakující se číslice (periodu) před desetinnou čárku. Toho dosáhneme vynásobením periodického čísla 10, 100, 1000 nebo vyšším násobkem desítky dle potřeby (periodu z jedné opakujíci se číslice násobíme 10, periodu z dvou číslic násobíme 100 atd. ). Musíme násobit obě strany rovnice:
Krok 3:
Odečtěme periodické číslo x od obou stran rovnice. To nám pomůže zbavit se desetinné části:
Krok 4:
Vyřešíme rovnici pro x:

Protože každé periodické číslo se dá tímto způsobem přeměnit na zlomek, patří periodická čísla do množiny racionálních čísel R.