Dělení, dělitelnost, dělitelé a násobky

Zbytek po dělení

Výsledek dělení není vždy hezké celé číslo, např. $7÷3$. Víme, že 3 se do 7 vejde dvakrát. Avšak $3×2=6$. Stále zbývá 1. V tomto případě nazýváme 1 zbytkem po dělení .

7 se nazývá dělenec and 3 je dělitel. K výpočtu zbytku po dělení je potřeba najít nejvyšší násobek (6) dělitele (3), který je však stále nižší než dělenec (7), a odečíst jej od dělence (7−6=1).

Jiný příklad:

4 je zbytek po dělení 5:

Zapisujeme také jako:

Platí, že zbytek po dělení musí být vždy menší než dělitel. Například při dělení číslem 8 může být zbytek 1 až 7. Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytkem 0.

Když je dělenec menší než dělitel, výsledný podíl je vždy 0 a zbytek je samotný dělenec. Například při dělení $2 ÷ 5$ je výsledkem 0 se zbytkem 2, protože 5 se do 2 nevejde ani jednou.

Zbytek po dělení

Výsledkem dělení nemusí být vždy celé číslo. Podívejme se například na dělení:

Číslo 3 se do 7 vejde dvakrát, protože:

Do 7 nám ale ještě zbývá 1:

Číslo 1 nazýváme zbytkem po dělení.

Číslo 7 se nazývá dělenec, číslo 3 je dělitel, číslo 2 je podíl a číslo 1 je zbytek.

Chceme-li zjistit zbytek po dělení, najdeme největší násobek dělitele, který není větší než dělenec. Tento násobek potom odečteme od dělence.

V našem příkladu je největším násobkem čísla 3, který nepřesahuje 7, číslo 6:

Zbytek po dělení je tedy 1.

Jiný příklad:

Největší násobek čísla 5, který nepřesahuje 44, je 40:

Od dělence odečteme 40:

Číslo 4 je zbytek po dělení čísla 44 číslem 5.

Můžeme také zapsat:

Nebo:

Jak velký může být zbytek?

Platí, že zbytek po dělení je vždy menší než dělitel. Zbytek může být také 0.

Například při dělení číslem 8 může být zbytek:

Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytek 0.

Když je dělenec menší než dělitel

Když je dělenec menší než dělitel, dělitel se do něj nevejde ani jednou. Podíl je proto 0 a zbytek je roven samotnému dělenci.

Například číslo 5 se do čísla 2 nevejde ani jednou:

Podíl je tedy 0 a zbytek je 2.

Zbytek po dělení

Výsledek dělení není vždy hezké celé číslo, např. $7÷3$. Víme, že 3 se do 7 vejde dvakrát. Avšak $3×2=6$. Stále zbývá 1. V tomto případě nazýváme 1 zbytkem po dělení .

7 se nazývá dělenec and 3 je dělitel. K výpočtu zbytku po dělení je potřeba najít nejvyšší násobek (6) dělitele (3), který je však stále nižší než dělenec (7), a odečíst jej od dělence (7−6=1).

Jiný příklad:

4 je zbytek po dělení 5:

Zapisujeme také jako:

Platí, že zbytek po dělení musí být vždy menší než dělitel. Například při dělení číslem 8 může být zbytek 1 až 7. Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytkem 0.

Když je dělenec menší než dělitel, výsledný podíl je vždy 0 a zbytek je samotný dělenec. Například při dělení $2 ÷ 5$ je výsledkem 0 se zbytkem 2, protože 5 se do 2 nevejde ani jednou.

Zbytek po dělení

Výsledkem dělení nemusí být vždy celé číslo. Podívejme se například na dělení:

Číslo 3 se do 7 vejde dvakrát, protože:

Do 7 nám ale ještě zbývá 1:

Číslo 1 nazýváme zbytkem po dělení.

Číslo 7 se nazývá dělenec, číslo 3 je dělitel, číslo 2 je podíl a číslo 1 je zbytek.

Chceme-li zjistit zbytek po dělení, najdeme největší násobek dělitele, který není větší než dělenec. Tento násobek potom odečteme od dělence.

V našem příkladu je největším násobkem čísla 3, který nepřesahuje 7, číslo 6:

Zbytek po dělení je tedy 1.

Jiný příklad:

Největší násobek čísla 5, který nepřesahuje 44, je 40:

Od dělence odečteme 40:

Číslo 4 je zbytek po dělení čísla 44 číslem 5.

Můžeme také zapsat:

Nebo:

Jak velký může být zbytek?

Platí, že zbytek po dělení je vždy menší než dělitel. Zbytek může být také 0.

Například při dělení číslem 8 může být zbytek:

Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytek 0.

Když je dělenec menší než dělitel

Když je dělenec menší než dělitel, dělitel se do něj nevejde ani jednou. Podíl je proto 0 a zbytek je roven samotnému dělenci.

Například číslo 5 se do čísla 2 nevejde ani jednou:

Podíl je tedy 0 a zbytek je 2.

Zbytek po dělení

Výsledek dělení není vždy hezké celé číslo, např. $7÷3$. Víme, že 3 se do 7 vejde dvakrát. Avšak $3×2=6$. Stále zbývá 1. V tomto případě nazýváme 1 zbytkem po dělení .

7 se nazývá dělenec and 3 je dělitel. K výpočtu zbytku po dělení je potřeba najít nejvyšší násobek (6) dělitele (3), který je však stále nižší než dělenec (7), a odečíst jej od dělence (7−6=1).

Jiný příklad:

4 je zbytek po dělení 5:

Zapisujeme také jako:

Platí, že zbytek po dělení musí být vždy menší než dělitel. Například při dělení číslem 8 může být zbytek 1 až 7. Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytkem 0.

Když je dělenec menší než dělitel, výsledný podíl je vždy 0 a zbytek je samotný dělenec. Například při dělení $2 ÷ 5$ je výsledkem 0 se zbytkem 2, protože 5 se do 2 nevejde ani jednou.

Zbytek po dělení

Výsledkem dělení nemusí být vždy celé číslo. Podívejme se například na dělení:

Číslo 3 se do 7 vejde dvakrát, protože:

Do 7 nám ale ještě zbývá 1:

Číslo 1 nazýváme zbytkem po dělení.

Číslo 7 se nazývá dělenec, číslo 3 je dělitel, číslo 2 je podíl a číslo 1 je zbytek.

Chceme-li zjistit zbytek po dělení, najdeme největší násobek dělitele, který není větší než dělenec. Tento násobek potom odečteme od dělence.

V našem příkladu je největším násobkem čísla 3, který nepřesahuje 7, číslo 6:

Zbytek po dělení je tedy 1.

Jiný příklad:

Největší násobek čísla 5, který nepřesahuje 44, je 40:

Od dělence odečteme 40:

Číslo 4 je zbytek po dělení čísla 44 číslem 5.

Můžeme také zapsat:

Nebo:

Jak velký může být zbytek?

Platí, že zbytek po dělení je vždy menší než dělitel. Zbytek může být také 0.

Například při dělení číslem 8 může být zbytek:

Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytek 0.

Když je dělenec menší než dělitel

Když je dělenec menší než dělitel, dělitel se do něj nevejde ani jednou. Podíl je proto 0 a zbytek je roven samotnému dělenci.

Například číslo 5 se do čísla 2 nevejde ani jednou:

Podíl je tedy 0 a zbytek je 2.

Zbytek po dělení

Výsledek dělení není vždy hezké celé číslo, např. $7÷3$. Víme, že 3 se do 7 vejde dvakrát. Avšak $3×2=6$. Stále zbývá 1. V tomto případě nazýváme 1 zbytkem po dělení .

7 se nazývá dělenec and 3 je dělitel. K výpočtu zbytku po dělení je potřeba najít nejvyšší násobek (6) dělitele (3), který je však stále nižší než dělenec (7), a odečíst jej od dělence (7−6=1).

Jiný příklad:

4 je zbytek po dělení 5:

Zapisujeme také jako:

Platí, že zbytek po dělení musí být vždy menší než dělitel. Například při dělení číslem 8 může být zbytek 1 až 7. Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytkem 0.

Když je dělenec menší než dělitel, výsledný podíl je vždy 0 a zbytek je samotný dělenec. Například při dělení $2 ÷ 5$ je výsledkem 0 se zbytkem 2, protože 5 se do 2 nevejde ani jednou.

Zbytek po dělení

Výsledkem dělení nemusí být vždy celé číslo. Podívejme se například na dělení:

Číslo 3 se do 7 vejde dvakrát, protože:

Do 7 nám ale ještě zbývá 1:

Číslo 1 nazýváme zbytkem po dělení.

Číslo 7 se nazývá dělenec, číslo 3 je dělitel, číslo 2 je podíl a číslo 1 je zbytek.

Chceme-li zjistit zbytek po dělení, najdeme největší násobek dělitele, který není větší než dělenec. Tento násobek potom odečteme od dělence.

V našem příkladu je největším násobkem čísla 3, který nepřesahuje 7, číslo 6:

Zbytek po dělení je tedy 1.

Jiný příklad:

Největší násobek čísla 5, který nepřesahuje 44, je 40:

Od dělence odečteme 40:

Číslo 4 je zbytek po dělení čísla 44 číslem 5.

Můžeme také zapsat:

Nebo:

Jak velký může být zbytek?

Platí, že zbytek po dělení je vždy menší než dělitel. Zbytek může být také 0.

Například při dělení číslem 8 může být zbytek:

Pokud je dělenec dělitelný beze zbytku, je zbytek 0.

Když je dělenec menší než dělitel

Když je dělenec menší než dělitel, dělitel se do něj nevejde ani jednou. Podíl je proto 0 a zbytek je roven samotnému dělenci.

Například číslo 5 se do čísla 2 nevejde ani jednou:

Podíl je tedy 0 a zbytek je 2.

Dělení desítkou

Když dělíme číslo končící nulou číslem 10, můžeme z konce čísla jednu nulu odstranit.

Například:

Čísla 50 i 10 končí jednou nulou. Z obou čísel můžeme jednu nulu odstranit:

Stejné pravidlo funguje i u větších čísel:

Z obou čísel odstraníme jednu nulu:

Dělení celými desítkami

Celé desítky jsou čísla jako 10, 20, 30, 40, 50 a tak dále. Vždy končí jednou nulou.

Když dělenec i dělitel končí nulou, můžeme z obou čísel odstranit stejný počet nul na konci. Potom vydělíme zbývající čísla.

Například:

Obě čísla končí jednou nulou, takže z každého odstraníme jednu nulu:

Tedy:

Stejný postup funguje i u dalších celých desítek:

Obě čísla končí jednou nulou, takže z každého odstraníme jednu nulu a dostaneme $360 ÷ 6$:

Tedy:

Dělení čísel končících nulou

Když dělenec končí nulou, můžeme někdy nulu dočasně odstranit, vydělit zbývající číslo a potom nulu znovu přidat na konec výsledku.

Například:

Nejprve si dočasně nevšímáme nuly na konci čísla 270:

Původní číslo 270 mělo na konci jednu nulu, takže ji znovu přidáme za číslo 9:

Tedy:

Tento postup funguje proto, že:

Takže:

Stejný princip funguje i s více nulami.

Například:

Dočasně odstraníme dvě nuly na konci:

Potom dvě nuly znovu přidáme:

Písemné dělení jednociferným číslem beze zbytku

Dělení vyšších čísel je obtížné, proto využíváme písemné formy, např:

Na prvním místě se nachází dělenec (v našem příkladu je to 1752) a po dělícím znaménku následuje dělitel (v příkladu je to 8). Začínáme tím, že zjistíme, zda je první číslice dělence (zde 1) stejná nebo větší než dělitel (zde 8). Pokud tomu tak je, můžeme tato čísla vydělit. V našem případě je první číslice dělence menší než dělitel, tudíž musíme použít také druhou číslici v dělenci. Počítáme tedy, kolikrát se 8 vejde do 17. Do výsledku napíšeme 2 a vypočítáme si zbytek. Vynásobíme dělitele a výsledek (2×8=16), číslo 16 zapíšeme pod 17 a odečteme (17−16=1). Tento zbytek musí být menší než dělitel.

Ke zbytku (1) sepíšeme další číslici (5). Neboť se do 15 vejde 8 pouze jednou, napíšeme do výsledku 1. Tento výsledek opět vynásobíme dělitelem (8) a odečteme od 15.

Provedeme odčítání a ke zbytku 7 sepíšeme další číslici (2). Víme, že 8 se do 72 vejde přesně devětkrát, napíšeme tedy do výsledku 9 a zbytek je 0. Výsledek celé operace je 219.

Pokud v průběhu dělení nastane nutnost dělit číslo 0 nebo číslo menší než dělitel, do výsledku zapíšeme 0, např:

Písemné dělení jednociferným číslem beze zbytku

Dělení vyšších čísel je obtížné, proto využíváme písemné formy, např:

Na prvním místě se nachází dělenec (v našem příkladu je to 1752) a po dělícím znaménku následuje dělitel (v příkladu je to 8). Začínáme tím, že zjistíme, zda je první číslice dělence (zde 1) stejná nebo větší než dělitel (zde 8). Pokud tomu tak je, můžeme tato čísla vydělit. V našem případě je první číslice dělence menší než dělitel, tudíž musíme použít také druhou číslici v dělenci. Počítáme tedy, kolikrát se 8 vejde do 17. Do výsledku napíšeme 2 a vypočítáme si zbytek. Vynásobíme dělitele a výsledek (2×8=16), číslo 16 zapíšeme pod 17 a odečteme (17−16=1). Tento zbytek musí být menší než dělitel.

Ke zbytku (1) sepíšeme další číslici (5). Neboť se do 15 vejde 8 pouze jednou, napíšeme do výsledku 1. Tento výsledek opět vynásobíme dělitelem (8) a odečteme od 15.

Provedeme odčítání a ke zbytku 7 sepíšeme další číslici (2). Víme, že 8 se do 72 vejde přesně devětkrát, napíšeme tedy do výsledku 9 a zbytek je 0. Výsledek celé operace je 219.

Pokud v průběhu dělení nastane nutnost dělit číslo 0 nebo číslo menší než dělitel, do výsledku zapíšeme 0, např:

Písemné dělení jednociferným číslem se zbytkem

Při písemném dělení se zbytkem používáme stejnou metodu jako u dělení beze zbytku. V příkladu 531÷4 postupně dělíme číslice z dělence dělitelem. Podíváme-li se na poslední operaci, vidíme, že dělení vyšlo se zbytkem 3. Můžeme napsat, že výsledek našeho příkladu je 132 se zbytkem 3.

Je však možné počítat dále mimo množinu celých čísel, protože 531 je vlastně 531,0000... Další číslice výsledku bychom pak psali za desetinnou čárku.

Písemné dělení dvojciferným číslem

Dělení dvojciferným dělitelem je stejné jako dělení číslem jednociferným. Z dělence vezmeme na začátku tolik číslic zleva, kolik je nutné, abychom dosáhli číslo větší než dělitel (33 je větší než 32).

Pravidla dělitelnosti

Číslo je dělitelné číslem 2 , pokud končí číslicí 0, 2, 4, 6 nebo 8. Tato čísla se nazývají sudá čísla. Čísla, která nejsou dělitelná 2, se nazývají lichá čísla.

Číslo je dělitelné 3 , pokud je součet jeho číslic dělitelný 3.

Číslo je dělitelné 4 , pokud jsou poslední dvě číslice dělitelné číslem 4 nebo číslo končí na 00.

Číslo je dělitelné 5 , pokud končí na 0 nebo 5.

Číslo je dělitelné 6, pokud je součet jeho číslic dělitelný 3 a 2.

Číslo je dělitelné 8 , pokud poslední tři číslice jsou dělitelné číslem 8 nebo číslo končí na 000.

Číslo je dělitelné číslem 9 , pokud je součet jeho číslic dělitelný číslem 9.

Číslo je dělitelné 10 , pokud končí číslicí 0.

Pravidla dělitelnosti

Číslo je dělitelné číslem 2 , pokud končí číslicí 0, 2, 4, 6 nebo 8. Tato čísla se nazývají sudá čísla. Čísla, která nejsou dělitelná 2, se nazývají lichá čísla.

Číslo je dělitelné 3 , pokud je součet jeho číslic dělitelný 3.

Číslo je dělitelné 4 , pokud jsou poslední dvě číslice dělitelné číslem 4 nebo číslo končí na 00.

Číslo je dělitelné 5 , pokud končí na 0 nebo 5.

Číslo je dělitelné 6, pokud je součet jeho číslic dělitelný 3 a 2.

Číslo je dělitelné 8 , pokud poslední tři číslice jsou dělitelné číslem 8 nebo číslo končí na 000.

Číslo je dělitelné číslem 9 , pokud je součet jeho číslic dělitelný číslem 9.

Číslo je dělitelné 10 , pokud končí číslicí 0.

Násobky

Když číslo vynásobíme jiným celým číslem, získáme jeho násobky. Např. násobky 5 jsou 5, 10, 15, 20, 25 atd.

Existuje nekonečně mnoho násobků jakéhokoli celého čísla.

Dělitele

Dělitele čísla jsou čísla, která společně vynásobíme, abychom získali toto číslo. Je to číslo, které beze zbytku vydělí původní číslo. Např. 8 je dělitel 24, protože 24 se může rozdělit přesně na 8 dílů po 3. Kromě 8 a 3 má 24 další dělitele, které můžeme uvést v párech: 12 a 2, 6 a 4 a také 24 a 1.

Každé celé číslo má konečný počet dělitelů, např. číslo 24 jich má osm (1, 24, 8, 3, 12, 2, 6, 4).