Matematika Testy - Cvičení z matematiky

Jaký zlomek je na obrázku?

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zlomky

V reálném světě nejsou jen celá čísla. Např. chléb můžeme rozkrojit na dvě poloviny a pizzu na osm kousků. Pro jejich popis používáme zlomky.

Zlomky nám umožňují zapsat části celých čísel, např. čísla menší než 1. Každý zlomek se skládá z čitatele a jmenovatele. Čitatel je horní číslice, která říká, kolik stejných částí zlomek obsahuje. Jmenovatel je dolní číslice, která říká, na kolik stejných částí je celek rozdělen.

3414

Můžeme také zakreslit zlomky na číselnou osu. Chceme-li zakreslit $1/8$, nakreslíme osu od 0 do 1. Nyní rozdělíme mezeru mezi 0 a 1 na osm stejných částí (jmenovatel = 8). Každý představuje zlomky od $1/8$ do $8/8 (= 1)$.

108−12−83−84−85−86−87−81−42−43−444−1−28−8=001=1=22−


Zlomky na číselné ose

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zlomky

V reálném světě nejsou jen celá čísla. Např. chléb můžeme rozkrojit na dvě poloviny a pizzu na osm kousků. Pro jejich popis používáme zlomky.

Zlomky nám umožňují zapsat části celých čísel, např. čísla menší než 1. Každý zlomek se skládá z čitatele a jmenovatele. Čitatel je horní číslice, která říká, kolik stejných částí zlomek obsahuje. Jmenovatel je dolní číslice, která říká, na kolik stejných částí je celek rozdělen.

3414

Můžeme také zakreslit zlomky na číselnou osu. Chceme-li zakreslit $1/8$, nakreslíme osu od 0 do 1. Nyní rozdělíme mezeru mezi 0 a 1 na osm stejných částí (jmenovatel = 8). Každý představuje zlomky od $1/8$ do $8/8 (= 1)$.

108−12−83−84−85−86−87−81−42−43−444−1−28−8=001=1=22−


Porovnej zlomky se stejným čitatelem nebo jmenovatelem

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Porovnání zlomků

Zlomky zaznamenávají části celku. Chceme-li dva zlomky porovnat, musíme najit ten, který obsahuje větší část celku.

Pokud mají zlomky stejný jmenovatel, můžeme porovnat čitatele:

$$ 3/4> 1/4 $$

Výsledek lze zobrazit takto:

3414

Pokud existuje společný čitatel, zlomek s větším jmenovatelem je ve skutečnosti menší:

$$ 1/3> 1/4 $$

Můžeme si to také zakreslit:

3141

Pokud dva zlomky nemají společný čitatel ani jmenovatel, musíme najít ekvivalentní zlomky se stejným jmenovatelem. Např. porovnat $ 3/8 $ a $ 1/3 $:

$ {3 × 3} / {8 × 3} = 9/24, {1 × 8} / {3 × 8} = 8/24;→; $ $ 9/24> 8/24 $

Pokud porovnáme zlomek s celým číslem, můžeme celé číslo převést na zlomek se stejným jmenovatelem:

$$ 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 = ... $$
$$ 4 = 8/2 = 12/3 = 16/4 = 20/5 = ... $$

Příklad:
Porovnej 3 a $ 9/4 $:

$$ 3 = 12/4;→;12/4> 9/4 $$


Porovnej zlomky a celá čísla

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zlomky a celá čísla

Pokud porovnáváme zlomek s celým číslem, můžeme celé číslo převést na zlomek se stejným jmenovatelem:

$ 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 = ... $ $ 4 = 8/2 = 12/3 = 16/4 = 20/5 = ... $

Např. porovnej 3 a $ 9/4 $:

$$ 3 = 12/4;→; 12/4> 9/4 $$


Doplň čitatel nebo jmenovatel

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Ekvivalentní zlomky

Ekvivalentní zlomky jsou zlomky se stejnou hodnotu, i když se liší čitatelem i jmenovatelem.

$$2/4 = 1/2 $$

Můžeme to nakreslit:

2412

Když násobíme nebo dělíme čitatel (horní číslo) a jmenovatel (dolní číslo) zlomku dalším zlomkem, který má čitatel stejný jako jmenovatel, zlomek nemění hodnotu. Zlomek se stejným čitatelem a jmenovatelem je ve skutečnosti roven 1 a násobením nebo dělením 1 nezměníme hodnotu původního zlomku.

Např.:

$$bo2/bo3 × 2/2=4/6=4/6 × 2/2=8/12=$$
$$=8/12 × 3/3={24÷12}/{36÷12}=bo2/bo3 $$

$$ 12/16={12 ÷ 4}/{16 ÷ 4}=3/4 $$

Pokud v rovnici hledáme čitatel nebo jmenovatel, musíme najít ekvivalentní zlomek:

$$ 1/3 = 2 / x $$

Potřebujeme vynásobit 1 číslem 2, abychom získali 2. Potřebujeme udělat totéž se jmenovatelem (3). A 3 × 2 = 6

$$ 1/3 = 2 / x → {1 × 2} / {3 × 2};→; $$
$${3 × 2} = 6 ;→; x = 6 $$

Pokud chybí část zlomku v nerovnici, musíme nejprve najít ekvivalentní zlomek. Např.:

$$ 3/8 > 6 / x ;→; {3 × 2} / {8 × 2}= 6/16$$
$$;→; 3/8 = 6/16 $$

Protože $ 3/8 $ odpovídá $ 6/16 $, musíme najít zlomek, který má v čitateli (horní číslo) 6 a zároveň je menší než $ 6/16 $. To je jakýkoliv zlomek se jmenovatelem větším než 16, např. $ 6/17; 6/18; 6/19$.

$$ x = {17; 18; 19; 20, ...} $$


Zlomky z celých čísel

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Zlomky z celých čísel

Chceme-li najít zlomek z celého čísla (např. $ 3/4 $ z 12), vynásobíme čitatele (3) daným celým číslem (12) a poté produkt (36) pokud možno vydělíme jmenovatelem (4).

$$ {3 × 12} / 4 = 36/4 = 9 $$


Součet a odčítání zlomků se stejným jmenovatelem (lehké)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Sčítání a odčítání zlomků

Pokud jsou jmenovatele (dolní čísla) stejné, stačí přičíst nebo odečíst čitatele (horní čísla).

$$ 5/7 + 1/7 = 6/7 $$
$$ 4/9 − 3/9 = 1/9 $$

Pokud jsou jmenovatele (dolní čísla) odlišné, musíme najít nejmenší společný násobek. To můžeme provést následujícím způsobem:

$$ 1/4 + 1/2 $$

Krok 1: Převedeme zlomky na stejný jmenovatel (vynásobením):

$$ 1/4 + 1/2 × 2/2 = 1/4 + 2/4 $$
Krok 2: Sečteme nebo odečtěme čitatele (horní čísla) a zapíšeme výsledek se stejným jmenovatelem.
$$ 1/4 + 2/4 = 3/4 $$

Někdy je lepší vydělit jeden ze zlomků:

$$ 4/6 + 2/3 = {4 ÷ 2} / {6 ÷ 2} + 2/3 = 2/3 + 2/3 = 4/3 $$

A když to nejde jinak, vždy je možné vynásobit zlomky jmenovatelem toho druhého:

$$ 4/7 − 1/3 = 4/7 × 3/3 − 1/3 × 7/7 = 12/21 − 7/21 = 5/21 $$

Pokud máme sečíst/odečíst zlomky a celá čísla, můžeme celé číslo převést na zlomek se stejným jmenovatelem.

$$ 1/5 + 1 = ? $$
$$ 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 $$
$$ ;→; 1/5 + 5/5 = 6/5 $$
$$ 13/3 − 4 = ? $$
$$ 4 = 4/1 = 8/2 = 12/3 → 13/3 − 12/3 = 1/3 $$


Součet a odčítání zlomků s různým jmenovatelem (střední)

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Sčítání a odčítání zlomků

Pokud jsou jmenovatele (dolní čísla) stejné, stačí přičíst nebo odečíst čitatele (horní čísla).

$$ 5/7 + 1/7 = 6/7 $$
$$ 4/9 − 3/9 = 1/9 $$

Pokud jsou jmenovatele (dolní čísla) odlišné, musíme najít nejmenší společný násobek. To můžeme provést následujícím způsobem:

$$ 1/4 + 1/2 $$

Krok 1: Převedeme zlomky na stejný jmenovatel (vynásobením):

$$ 1/4 + 1/2 × 2/2 = 1/4 + 2/4 $$
Krok 2: Sečteme nebo odečtěme čitatele (horní čísla) a zapíšeme výsledek se stejným jmenovatelem.
$$ 1/4 + 2/4 = 3/4 $$

Někdy je lepší vydělit jeden ze zlomků:

$$ 4/6 + 2/3 = {4 ÷ 2} / {6 ÷ 2} + 2/3 = 2/3 + 2/3 = 4/3 $$

A když to nejde jinak, vždy je možné vynásobit zlomky jmenovatelem toho druhého:

$$ 4/7 − 1/3 = 4/7 × 3/3 − 1/3 × 7/7 = 12/21 − 7/21 = 5/21 $$

Pokud máme sečíst/odečíst zlomky a celá čísla, můžeme celé číslo převést na zlomek se stejným jmenovatelem.

$$ 1/5 + 1 = ? $$
$$ 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 $$
$$ ;→; 1/5 + 5/5 = 6/5 $$
$$ 13/3 − 4 = ? $$
$$ 4 = 4/1 = 8/2 = 12/3 → 13/3 − 12/3 = 1/3 $$


Smíšená čísla

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Smíšená čísla

Pravý zlomek je zlomek, jehož čitatel (horní číslo) je menší než jmenovatel (dolní číslo), např. $ 1/3; 3/4; 5/7; 6/7 $. Je vždy menší než 1.

Nepravý zlomek je zlomek s čitatelem větším nebo rovným jmenovateli, např. $ 7/6; 8/4; 3/3; 8/7; 34/9 $. Je vždy větší nebo roven 1.

Smíšené číslo je zápis zlomku pomocí celého čísla a pravého zlomku. Jde tak zapsat každý nepravý zlomek

Jak převést nepravý zlomek na smíšené číslo:

$$ 15/7 $$

Chceme-li převést $ 15/7 $ na smíšené číslo, musíme zjistit, kolikrát se číslo 7 vejde do čísla 15. Proto vydělíme čitatel jmenovatelem:

$ 15 ÷ 7 = 2 $ se zbytkem 1 ($ 15 = 2 × 7 + 1 $).
Číslo 2 bude použito jako celé číslo smíšeného čísla a zbytek 1 bude čitatelem nad původním jmenovatelem (7):

$$ 15/7 = 2 {1/7} $$

Jak převést smíšené číslo na zlomek:

$$ 5 {3/4} $$

Chceme-li převést $ 5 {3/4} $ na zlomek, vynásobíme celé číslo jmenovatelem:

$$ 5 × 4 = 20 $$
Přičteme 20 k čitateli:
$$ 20 + 3 = 23 $$
Zapíšeme 23 do jmenovatele:

$$ 5 {3/4} = 23/4 $$

Smíšené číslo může být také zapsáno jako: 1 5 ⁄ 8 ; 3 3 ⁄ 4 .



Dělení zlomků

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Dělení zlomků

Chceme-li dělit dva zlomky, převrátíme druhý zlomek (vyměníme čitatele s jmenovatelem) a místo dělení mezi sebou oba zlomky vynásobíme.

$$ {8/9} ÷ {2/7} = {8/9} × {7/2} = 56/18 $$

Výsledný zlomek můžeme zjednodušit nebo převést na smíšené číslo:

$$ {56 ÷ 2} / {18 ÷ 2} = 28/9 = {3 × 9 + 1} / 9 = 3 {1/9} $$

Dělení zlomků celým číslem

Celé číslo můžeme napsat jako zlomek (celé číslo použijeme jako čitatel a do jmenovatele vložíme 1):

$$ {4/5} ÷ 7 = {4/5} ÷ {7/1} = 4/5 × 1/7 = 4/35 $$


Složené zlomky

Zkopíruj odkaz na toto téma. expand learning text

Složené zlomky

Obecně platí, že složený zlomek v sobě obsahuje alespoň jeden další zlomek. Může být v čitateli, jmenovateli nebo v obou. V posledním případě jde vlastně o poměr dvou zlomků.

Chceme-li složený zlomek převést na jednoduchý zlomek, přepíšeme ho pomocí dělení:

$${;4/5;}/{2/3}={4/5}÷{2/3}={4/5}×{3/2}=12/10$$

Horní/vnější čitatel můžeme vynásobit také spodním/vnějším jmenovatelem a horní/vnitřní jmenovatel dolním/vnitřním čitatelem:

$${;4/5;}/{2/3}={4×3}/{5×2}=12/10$$

Pokud zlomek obsahuje pouze čitatel nebo jmenovatel, přepíšeme jej jako zlomek a pak je vydělíme nebo vynásobíme:

$${;1/8;}/3={;1/8;}/{3/1}={1×1}/{8×3}=1/24$$

$${;7;}/{4/5}={{;7/1;}/{4/5}={7×5}/{1×4}=35/4$$


   
   

Copyright © 2017 - 2023 Eductify